Вопросы, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. По какому признаку можно установить, является функция возрастающей или убывающей?

2. Для каких функций всегда можно найти промежутки их возрастания и убывания?

1. По какому признаку можно установить, является функция возрастающей или убывающей?

Основным признаком для определения характера монотонности (возрастания или убывания) функции является знак её первой производной. Этот метод применим для функций, которые являются дифференцируемыми на рассматриваемом промежутке.

Сформулируем теорему (достаточное условие возрастания/убывания функции):

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема на интервале $(a, b)$.

• Если производная $f'(x) > 0$ для всех $x$ из интервала $(a, b)$, то функция $f(x)$ возрастает на этом интервале.

• Если производная $f'(x) < 0$ для всех $x$ из интервала $(a, b)$, то функция $f(x)$ убывает на этом интервале.

• Если производная $f'(x) = 0$ для всех $x$ из интервала $(a, b)$, то функция $f(x)$ является постоянной на этом интервале.

Геометрически это означает, что если касательная к графику функции в каждой точке интервала образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс (тангенс угла наклона, равный производной, положителен), то функция возрастает. Если же угол тупой (тангенс отрицателен) — функция убывает.

Например, для функции $f(x) = x^3 - 3x$ найдем производную: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$.

• $f'(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$, значит, на этих интервалах функция возрастает.

• $f'(x) < 0$ при $x \in (-1, 1)$, значит, на этом интервале функция убывает.

Стоит отметить, что это именно признак, основанный на математическом анализе. Фундаментальным же является само определение: функция $f(x)$ называется возрастающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. Производная же является мощным инструментом для проверки этого условия.

Ответ: Установить, является ли функция возрастающей или убывающей на некотором интервале, можно по знаку её первой производной на этом интервале: если производная положительна, функция возрастает; если отрицательна — убывает.

2. Для каких функций всегда можно найти промежутки их возрастания и убывания?

Промежутки возрастания и убывания всегда можно найти для дифференцируемых функций, то есть для функций, у которых существует производная на всей их области определения или на отдельных интервалах этой области.

К таким функциям относится большинство элементарных функций, изучаемых в школьном курсе и в высшей математике: многочлены, рациональные функции (дроби, где в числителе и знаменателе многочлены), степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, а также их комбинации (сумма, произведение, частное, композиция).

Для таких функций существует стандартный алгоритм нахождения промежутков монотонности:

1. Найти область определения функции $D(f)$.

2. Найти производную функции $f'(x)$.

3. Найти критические точки функции, то есть точки из области определения, в которых производная равна нулю ($f'(x) = 0$) или не существует.

4. Отметить критические точки на числовой прямой. Эти точки разобьют область определения функции на интервалы.

5. Определить знак производной $f'(x)$ на каждом из полученных интервалов, подставив в производную любое значение из этого интервала.

6. Сделать вывод о монотонности функции на каждом интервале на основании знака производной.

Этот алгоритм является универсальным и позволяет систематически находить промежутки монотонности для любого дифференцируемого выражения. Даже если функция не является дифференцируемой в отдельных точках (например, функция $f(x) = |x|$ недифференцируема в точке $x=0$), этот метод всё равно позволяет исследовать её на промежутках, где производная существует.

Ответ: Промежутки возрастания и убывания всегда можно найти для функций, дифференцируемых на своей области определения, с помощью стандартного алгоритма исследования знака первой производной.