Номер 47.3, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$

(47.3 - 47.5):

47.3. 1) $f(x) = 7x + 1$; 2) $f(x) = 3 + 8x$;

3) $f(x) = -2x - 13$; 4) $f(x) = 10 - 4x$.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции используется ее производная. Если производная $f'(x) > 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает. Если $f'(x) < 0$, то функция убывает. Все представленные функции являются линейными вида $f(x) = kx + b$, их производная постоянна и равна угловому коэффициенту $k$.

1) Дана функция $f(x) = 7x + 1$.

Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = 7$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (7x + 1)' = 7$.

Так как производная $f'(x) = 7$ положительна для всех $x$ ($7 > 0$), функция возрастает на всей своей области определения, то есть на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

2) Дана функция $f(x) = 3 + 8x$.

Перепишем функцию в стандартном виде: $f(x) = 8x + 3$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = 8$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (8x + 3)' = 8$.

Поскольку производная $f'(x) = 8$ положительна для всех $x$ ($8 > 0$), функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

3) Дана функция $f(x) = -2x - 13$.

Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = -2$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (-2x - 13)' = -2$.

Так как производная $f'(x) = -2$ отрицательна для всех $x$ ($-2 < 0$), функция убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

4) Дана функция $f(x) = 10 - 4x$.

Перепишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -4x + 10$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k = -4$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (-4x + 10)' = -4$.

Поскольку производная $f'(x) = -4$ отрицательна для всех $x$ ($-4 < 0$), функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков возрастания нет.