Страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

15.18. Используя единичную окружность, линии тангенсов и котангенсов, докажите, что для любых чисел $t_1$ и $t_2$ из неравенства $t_1 < t_2$ следует неравенство:

1) $\text{arctg } t_1 < \text{arctg } t_2;$

2) $\text{arcctg } t_1 > \text{arcctg } t_2.$

1) arctgt₁ < arctgt₂

Данное утверждение доказывает, что функция арктангенс является возрастающей. Для доказательства воспользуемся единичной окружностью и линией тангенсов.

Линия тангенсов — это вертикальная прямая, касающаяся единичной окружности в точке $(1, 0)$, её уравнение $x=1$.

По определению, $\alpha = \arctan t$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $t$. Геометрически, значение $t$ равно ординате (координате $y$) точки пересечения конечной стороны угла $\alpha$ с линией тангенсов.

Пусть даны два числа $t_1$ и $t_2$, такие что $t_1 < t_2$. Обозначим $\alpha_1 = \arctan t_1$ и $\alpha_2 = \arctan t_2$.

На линии тангенсов $x=1$ отметим точки $P_1$ с координатами $(1, t_1)$ и $P_2$ с координатами $(1, t_2)$. Поскольку $t_1 < t_2$, точка $P_1$ будет расположена на прямой $x=1$ ниже, чем точка $P_2$.

Угол $\alpha_1$ — это угол, образованный отрезком $OP_1$ (где $O$ — начало координат) и положительным направлением оси $Ox$. Аналогично, угол $\alpha_2$ — это угол, образованный отрезком $OP_2$ и положительным направлением оси $Ox$.

При движении точки по линии тангенсов снизу вверх (то есть при увеличении значения $t$), соответствующий угол $\alpha$ монотонно возрастает от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. Так как точка $P_1$ находится ниже точки $P_2$, то луч $OP_1$ образует с осью $Ox$ меньший угол, чем луч $OP_2$.

Следовательно, $\alpha_1 < \alpha_2$, что и означает $\arctan t_1 < \arctan t_2$.

Ответ: Неравенство доказано, что подтверждает возрастающий характер функции арктангенс.

2) arcctgt₁ > arcctgt₂

Данное утверждение доказывает, что функция арккотангенс является убывающей. Для доказательства воспользуемся единичной окружностью и линией котангенсов.

Линия котангенсов — это горизонтальная прямая, касающаяся единичной окружности в точке $(0, 1)$, её уравнение $y=1$.

По определению, $\beta = \text{arccot } t$ — это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $t$. Геометрически, значение $t$ равно абсциссе (координате $x$) точки пересечения конечной стороны угла $\beta$ с линией котангенсов.

Пусть даны два числа $t_1$ и $t_2$, такие что $t_1 < t_2$. Обозначим $\beta_1 = \text{arccot } t_1$ и $\beta_2 = \text{arccot } t_2$.

На линии котангенсов $y=1$ отметим точки $Q_1$ с координатами $(t_1, 1)$ и $Q_2$ с координатами $(t_2, 1)$. Поскольку $t_1 < t_2$, точка $Q_1$ будет расположена на прямой $y=1$ левее, чем точка $Q_2$.

Угол $\beta_1$ — это угол, образованный отрезком $OQ_1$ (где $O$ — начало координат) и положительным направлением оси $Ox$. Аналогично, угол $\beta_2$ — это угол, образованный отрезком $OQ_2$ и положительным направлением оси $Ox$.

При движении точки по линии котангенсов слева направо (то есть при увеличении значения $t$), соответствующий угол $\beta$ монотонно убывает от $\pi$ до $0$. Так как точка $Q_1$ находится левее точки $Q_2$, то луч $OQ_1$ образует с осью $Ox$ больший угол, чем луч $OQ_2$.

Следовательно, $\beta_1 > \beta_2$, что и означает $\text{arccot } t_1 > \text{arccot } t_2$.

Ответ: Неравенство доказано, что подтверждает убывающий характер функции арккотангенс.

15.19. Докажите, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$, принадлежащих числовому промежутку $[-1; 1]$, из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство:

1) $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$;

2) $\arccos x_1 > \arccos x_2$.

1) $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$;

Данное утверждение означает, что функция $y = \arcsin x$ является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $[-1; 1]$. Докажем это.

По определению, функция $y = \arcsin x$ является обратной к функции $x = \sin y$, рассматриваемой на промежутке $y \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Пусть даны два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[-1; 1]$ такие, что $x_1 < x_2$.

Обозначим $y_1 = \arcsin x_1$ и $y_2 = \arcsin x_2$. Согласно определению арксинуса, $y_1, y_2 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, и при этом выполняются равенства $x_1 = \sin y_1$ и $x_2 = \sin y_2$.

Поскольку по условию $x_1 < x_2$, то мы имеем неравенство $\sin y_1 < \sin y_2$.

Функция $t = \sin y$ является строго возрастающей на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Это означает, что для любых аргументов из этого промежутка, большему значению функции соответствует большее значение аргумента.

Так как $y_1, y_2 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, из неравенства $\sin y_1 < \sin y_2$ следует, что $y_1 < y_2$.

Выполнив обратную замену $y_1 = \arcsin x_1$ и $y_2 = \arcsin x_2$, получаем искомое неравенство: $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что для любых $x_1, x_2 \in [-1; 1]$, если $x_1 < x_2$, то $\arcsin x_1 < \arcsin x_2$.

2) $\arccos x_1 > \arccos x_2$.

Данное утверждение означает, что функция $y = \arccos x$ является строго убывающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $[-1; 1]$. Докажем это.

По определению, функция $y = \arccos x$ является обратной к функции $x = \cos y$, рассматриваемой на промежутке $y \in [0; \pi]$.

Пусть даны два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[-1; 1]$ такие, что $x_1 < x_2$.

Обозначим $y_1 = \arccos x_1$ и $y_2 = \arccos x_2$. Согласно определению арккосинуса, $y_1, y_2 \in [0; \pi]$, и при этом выполняются равенства $x_1 = \cos y_1$ и $x_2 = \cos y_2$.

Поскольку по условию $x_1 < x_2$, то мы имеем неравенство $\cos y_1 < \cos y_2$.

Функция $t = \cos y$ является строго убывающей на промежутке $[0; \pi]$. Это означает, что для любых аргументов из этого промежутка, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Так как $y_1, y_2 \in [0; \pi]$, из неравенства $\cos y_1 < \cos y_2$ следует, что $y_1 > y_2$.

Выполнив обратную замену $y_1 = \arccos x_1$ и $y_2 = \arccos x_2$, получаем искомое неравенство: $\arccos x_1 > \arccos x_2$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что для любых $x_1, x_2 \in [-1; 1]$, если $x_1 < x_2$, то $\arccos x_1 > \arccos x_2$.

15.20. Расположите в порядке убывания значений выражения:

1) $\arcsin(-0,3)$; $\arcsin(-0,1)$; $\arcsin\frac{\pi}{9}$; $\arcsin\frac{\pi}{6}$;

2) $\arccos(-1)$; $\arccos(-0,2)$; $\arccos\frac{\pi}{5}$; $\arccos\frac{\pi}{9}$.

1) Чтобы расположить значения выражений в порядке убывания, необходимо их сравнить. Функция $y = \arcsin(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $\arcsin(x_1) < \arcsin(x_2)$.

Следовательно, нам нужно сначала сравнить аргументы данных выражений: $-0,3$; $-0,1$; $\frac{\pi}{9}$; $\frac{\pi}{6}$.

Для сравнения дробей с $\pi$ используем приближенное значение $\pi \approx 3,1416$:

$\frac{\pi}{9} \approx \frac{3,1416}{9} \approx 0,349$

$\frac{\pi}{6} \approx \frac{3,1416}{6} \approx 0,5236$

Все аргументы находятся в области определения арксинуса $[-1, 1]$. Теперь расположим их в порядке возрастания:

$-0,3 < -0,1 < 0,349 < 0,5236$, следовательно, $-0,3 < -0,1 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{6}$.

Так как функция $\arcsin(x)$ возрастающая, то и значения функции будут расположены в том же порядке:

$\arcsin(-0,3) < \arcsin(-0,1) < \arcsin(\frac{\pi}{9}) < \arcsin(\frac{\pi}{6})$.

В задаче требуется расположить значения в порядке убывания (от большего к меньшему). Для этого запишем полученный ряд в обратном порядке.

Ответ: $\arcsin(\frac{\pi}{6})$; $\arcsin(\frac{\pi}{9})$; $\arcsin(-0,1)$; $\arcsin(-0,3)$.

2) Функция $y = \arccos(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения $[-1, 1]$. Это означает, что для любых двух значений $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $\arccos(x_1) > \arccos(x_2)$.

Сравним аргументы данных выражений: $-1$; $-0,2$; $\frac{\pi}{5}$; $\frac{\pi}{9}$.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3,1416$:

$\frac{\pi}{5} \approx \frac{3,1416}{5} = 0,62832$

$\frac{\pi}{9} \approx \frac{3,1416}{9} \approx 0,34907$

Все аргументы находятся в области определения арккосинуса $[-1, 1]$. Расположим их в порядке возрастания:

$-1 < -0,2 < 0,34907 < 0,62832$, следовательно, $-1 < -0,2 < \frac{\pi}{9} < \frac{\pi}{5}$.

Поскольку функция $\arccos(x)$ убывающая, то для значений функции порядок неравенств меняется на противоположный:

$\arccos(-1) > \arccos(-0,2) > \arccos(\frac{\pi}{9}) > \arccos(\frac{\pi}{5})$.

Этот ряд уже представляет собой расположение значений в порядке убывания.

Ответ: $\arccos(-1)$; $\arccos(-0,2)$; $\arccos(\frac{\pi}{9})$; $\arccos(\frac{\pi}{5})$.

15.21. Расположите в порядке возрастания значений выражения:

1) $\text{arctg}(-7{,}3)$; $\text{arctg}(-0{,}3)$; $\text{arctg}\frac{5\pi}{9}$; $\text{arctg}\frac{\pi}{6}$;

2) $\text{arcctg}(-111)$; $\text{arcctg}(-2{,}2)$; $\text{arcctg}\frac{2\pi}{5}$; $\text{arcctg}\frac{5\pi}{9}$.

1) Функция $y = \operatorname{arctg}(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$, поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Чтобы расположить выражения в порядке возрастания, необходимо сравнить их аргументы: $-7,3$; $-0,3$; $\frac{5\pi}{9}$; $\frac{\pi}{6}$.

Сравним аргументы. Отрицательные числа меньше положительных, и очевидно, что $-7,3 < -0,3$.

Сравним положительные аргументы, приведя их к общему знаменателю 18:$\frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{18}$ и $\frac{5\pi}{9} = \frac{10\pi}{18}$.Так как $3\pi < 10\pi$, то $\frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{9}$.

Таким образом, аргументы в порядке возрастания располагаются следующим образом: $-7,3 < -0,3 < \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{9}$.

В силу того, что функция $\operatorname{arctg}(x)$ возрастающая, порядок значений выражений будет таким же.

Ответ: $\operatorname{arctg}(-7,3)$; $\operatorname{arctg}(-0,3)$; $\operatorname{arctg}(\frac{\pi}{6})$; $\operatorname{arctg}(\frac{5\pi}{9})$.

2) Функция $y = \operatorname{arcctg}(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$, поэтому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Чтобы расположить выражения в порядке возрастания, необходимо расположить их аргументы в порядке убывания. Аргументы: $-111$; $-2,2$; $\frac{2\pi}{5}$; $\frac{5\pi}{9}$.

Сначала упорядочим аргументы по возрастанию. Очевидно, что $-111 < -2,2$.

Сравним положительные аргументы, приведя их к общему знаменателю 45:$\frac{2\pi}{5} = \frac{18\pi}{45}$ и $\frac{5\pi}{9} = \frac{25\pi}{45}$.Так как $18\pi < 25\pi$, то $\frac{2\pi}{5} < \frac{5\pi}{9}$.

Полный порядок возрастания аргументов: $-111 < -2,2 < \frac{2\pi}{5} < \frac{5\pi}{9}$.

Следовательно, порядок убывания аргументов будет обратным: $\frac{5\pi}{9} > \frac{2\pi}{5} > -2,2 > -111$.

Поскольку функция $\operatorname{arcctg}(x)$ убывающая, искомый порядок возрастания значений функции будет соответствовать порядку убывания ее аргументов.

Ответ: $\operatorname{arcctg}(\frac{5\pi}{9})$; $\operatorname{arcctg}(\frac{2\pi}{5})$; $\operatorname{arcctg}(-2,2)$; $\operatorname{arcctg}(-111)$.

15.22. Преобразуйте в произведение и найдите значение выражения:

1) $ \sin 75^\circ + \sin 15^\circ $;

2) $ \cos 152^\circ + \cos 28^\circ $.

1) Для преобразования суммы синусов в произведение воспользуемся формулой суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $.

Подставим в формулу значения $ \alpha = 75^\circ $ и $ \beta = 15^\circ $:

$ \sin 75^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin\left(\frac{75^\circ + 15^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{75^\circ - 15^\circ}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{90^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 2 \sin 45^\circ \cos 30^\circ $.

Зная табличные значения $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, вычислим значение произведения:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{2} $.

2) Для преобразования суммы косинусов в произведение используем формулу суммы косинусов: $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $.

Применим эту формулу к выражению $ \cos 152^\circ + \cos 28^\circ $, где $ \alpha = 152^\circ $ и $ \beta = 28^\circ $:

$ \cos 152^\circ + \cos 28^\circ = 2 \cos\left(\frac{152^\circ + 28^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{152^\circ - 28^\circ}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{180^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{124^\circ}{2}\right) = 2 \cos 90^\circ \cos 62^\circ $.

Поскольку значение $ \cos 90^\circ = 0 $, то все произведение будет равно нулю:

$ 2 \cdot 0 \cdot \cos 62^\circ = 0 $.

Ответ: $0$.

15.23. Упростите выражение:

1)

$ \sin 5a \cdot \sin 3a + \cos 5a \cdot \cos 3a; $

2)

$ \cos 2a \cdot \sin 3a - \sin 2a \cdot \cos 3a. $

1) Для упрощения выражения $sin(5a) \cdot sin(3a) + cos(5a) \cdot cos(3a)$ воспользуемся формулой косинуса разности двух углов, которая имеет вид: $cos(\alpha - \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) + sin(\alpha)sin(\beta)$.

Сравнив исходное выражение с формулой, видим, что они совпадают, если принять $\alpha = 5a$ и $\beta = 3a$. Порядок слагаемых не имеет значения ($cos(5a)cos(3a) + sin(5a)sin(3a)$).

Таким образом, мы можем "свернуть" выражение по этой формуле:

$cos(5a) \cdot cos(3a) + sin(5a) \cdot sin(3a) = cos(5a - 3a) = cos(2a)$.

Ответ: $cos(2a)$.

2) Для упрощения выражения $cos(2a) \cdot sin(3a) - sin(2a) \cdot cos(3a)$ воспользуемся формулой синуса разности двух углов: $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$.

Чтобы привести наше выражение к виду формулы, поменяем местами члены выражения: $sin(3a) \cdot cos(2a) - cos(3a) \cdot sin(2a)$.

Теперь выражение полностью соответствует правой части формулы синуса разности, где $\alpha = 3a$ и $\beta = 2a$.

Применяем формулу:

$sin(3a) \cdot cos(2a) - cos(3a) \cdot sin(2a) = sin(3a - 2a) = sin(a)$.

Ответ: $sin(a)$.

15.24. Постройте график функции:

1) $y = \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

2) $y = \sin \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$;

3) $y = 2\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

1) Построить график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$.

Для построения этого графика мы будем использовать преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

Данная функция имеет вид $y = f(x-c)$, где $f(x) = \sin x$ и $c = \frac{\pi}{3}$.

Это означает, что график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем его сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $\frac{\pi}{3}$ вправо, так как $c > 0$.

Алгоритм построения:

1. Строим график основной функции $y = \sin x$. Это синусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.

2. Сдвигаем весь график на $\frac{\pi}{3}$ вправо. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y = \sin x$ переходит в точку $(x + \frac{\pi}{3}, y)$.

Новые ключевые точки будут:

- Начало периода (пересечение с осью Ox в возрастании): $(0 + \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{\pi}{3}, 0)$.

- Максимум: $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, 1) = (\frac{5\pi}{6}, 1)$.

- Пересечение с осью Ox в убывании: $(\pi + \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{4\pi}{3}, 0)$.

- Минимум: $(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, -1) = (\frac{11\pi}{6}, -1)$.

- Конец периода: $(2\pi + \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{7\pi}{3}, 0)$.

Амплитуда функции равна 1, период равен $2\pi$.

Ответ: График функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$ является синусоидой, полученной сдвигом графика $y = \sin x$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо по оси Ox.

2) Построить график функции $y = \sin(2x + \frac{2\pi}{3})$.

Для удобства анализа преобразуем выражение в скобках, вынеся коэффициент при $x$:

$y = \sin(2(x + \frac{\pi}{3}))$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y = \sin x$ с помощью следующих преобразований:

1. Сжатие графика $y = \sin x$ по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза. Это преобразование соответствует множителю 2 при $x$. Получаем функцию $y = \sin(2x)$. Период этой функции будет $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

2. Сдвиг полученного графика $y = \sin(2x)$ по горизонтали. Так как у нас в скобках $(x + \frac{\pi}{3})$, сдвиг происходит влево на $\frac{\pi}{3}$.

Итак, алгоритм построения:

1. Строим график $y = \sin x$.

2. Сжимаем его в 2 раза вдоль оси Ox, получаем график $y = \sin(2x)$ с периодом $\pi$.

3. Сдвигаем график $y = \sin(2x)$ на $\frac{\pi}{3}$ влево вдоль оси Ox.

Найдем ключевые точки для одного периода. Один основной цикл синуса начинается, когда его аргумент равен 0, и заканчивается, когда аргумент равен $2\pi$.

$2x + \frac{2\pi}{3} = 0 \Rightarrow 2x = -\frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3}$ (начало периода).

$2x + \frac{2\pi}{3} = 2\pi \Rightarrow 2x = \frac{4\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3}$ (конец периода).

Действительно, длина периода: $\frac{2\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \pi$.

- Максимум (аргумент равен $\frac{\pi}{2}$): $2x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{6} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12}$. Точка $(-\frac{\pi}{12}, 1)$.

- Нуль функции (аргумент равен $\pi$): $2x + \frac{2\pi}{3} = \pi \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$. Точка $(\frac{\pi}{6}, 0)$.

- Минимум (аргумент равен $\frac{3\pi}{2}$): $2x + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow 2x = \frac{5\pi}{6} \Rightarrow x = \frac{5\pi}{12}$. Точка $(\frac{5\pi}{12}, -1)$.

Амплитуда функции равна 1.

Ответ: График функции $y = \sin(2x + \frac{2\pi}{3})$ получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия по горизонтали в 2 раза (период становится $\pi$) и последующего сдвига влево на $\frac{\pi}{3}$.

3) Построить график функции $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{4})$.

График этой функции получается из графика базовой функции $y = \cos x$ с помощью следующих преобразований:

1. Растяжение графика $y = \cos x$ по вертикали (вдоль оси Oy) в 2 раза. Это преобразование соответствует множителю 2 перед функцией косинуса. Получаем функцию $y = 2\cos x$. Амплитуда этой функции становится равной 2, а область значений $E(y) = [-2, 2]$.

2. Сдвиг полученного графика $y = 2\cos x$ по горизонтали (вдоль оси Ox). Так как у нас в скобках $(x - \frac{\pi}{4})$, сдвиг происходит вправо на $\frac{\pi}{4}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график $y = \cos x$ (косинусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$).

2. Растягиваем его в 2 раза вдоль оси Oy, получаем график $y = 2\cos x$. Максимумы станут равны 2, минимумы -2.

3. Сдвигаем график $y = 2\cos x$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox.

Найдем ключевые точки для одного периода, сдвинув точки графика $y = 2\cos x$.

Ключевые точки для $y = 2\cos x$: $(0, 2)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -2)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 2)$.

Сдвигаем их на $\frac{\pi}{4}$ вправо:

- Максимум: $(0 + \frac{\pi}{4}, 2) = (\frac{\pi}{4}, 2)$.

- Пересечение с осью Ox: $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{3\pi}{4}, 0)$.

- Минимум: $(\pi + \frac{\pi}{4}, -2) = (\frac{5\pi}{4}, -2)$.

- Пересечение с осью Ox: $(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{7\pi}{4}, 0)$.

- Следующий максимум: $(2\pi + \frac{\pi}{4}, 2) = (\frac{9\pi}{4}, 2)$.

Период функции остался равен $2\pi$. Амплитуда равна 2.

Ответ: График функции $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика $y = \cos x$ путем растяжения по вертикали в 2 раза (амплитуда становится 2) и последующего сдвига вправо на $\frac{\pi}{4}$.