Страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему для построения графика функции $y = \arcsin x$, используя график функции $y = \sin x$ (рис.16.1), рассматривают только часть синусоиды (рис.16.2)?

Рис. 16.1

Рис. 16.2

Функция $y = \arcsin(x)$ является обратной к функции $y = \sin(x)$. По определению, для существования обратной функции необходимо, чтобы исходная функция была взаимно однозначной (или монотонной). Это означает, что каждому значению функции (y) должно соответствовать только одно значение аргумента (x).

Рассмотрим график функции $y = \sin(x)$ на всей числовой прямой (рис. 16.1). Эта функция является периодической. Если мы проведем горизонтальную прямую, например, $y = 0.5$, она пересечет синусоиду в бесконечном множестве точек ($x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$, $x = \frac{13\pi}{6}$ и т.д.). Это означает, что одному значению $y$ соответствует множество значений $x$, и, следовательно, функция $y = \sin(x)$ на всей своей области определения не является монотонной, и для нее невозможно построить однозначную обратную функцию.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо ограничить область определения функции $y = \sin(x)$ таким образом, чтобы на выбранном промежутке она была строго монотонной (только возрастала или только убывала). По соглашению, для функции синус выбирают промежуток монотонного возрастания, на котором она принимает все свои возможные значения от -1 до 1. Таким промежутком является отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Именно эта часть синусоиды изображена на рис. 16.2. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \sin(x)$ строго возрастает, и каждому значению $y$ из отрезка $[-1, 1]$ соответствует единственное значение $x$.

Таким образом, функция $y = \arcsin(x)$ определяется как обратная к функции $y = \sin(x)$, рассматриваемой только на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Это гарантирует, что для каждого $x$ из области определения арксинуса (отрезок $[-1, 1]$) существует единственное значение $y$ из его области значений (отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$).

Ответ: Для построения графика функции $y = \arcsin(x)$ рассматривают только часть синусоиды, потому что функция $y = \arcsin(x)$ является обратной к $y = \sin(x)$, а обратная функция может существовать только для монотонного участка исходной функции. По соглашению, для синуса выбирается участок строгого возрастания $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, показанный на рис. 16.2, что обеспечивает однозначность функции арксинуса.

$P_i = F(X_i)$

Используя формулу $P_i = \begin{cases} \frac{i-1}{36}, & 2 \le i < 7, \\ \frac{13-i}{36}, & 8 \le i \le 12. \end{cases}$ рассчитайте вероятности. Сравните полученные данные с данными таблицы распределения дискретной случайной величины X в рассмотренном выше опыте.

Для решения данной задачи необходимо выполнить два шага: сначала рассчитать вероятности $P_i$ по предложенной кусочно-заданной формуле, а затем сравнить их с теоретическими вероятностями для случайной величины X, представляющей собой сумму очков при броске двух игральных костей.

1. Расчет вероятностей по формуле.

Формула для расчета вероятностей $P_i$ задана для двух диапазонов значений $i$.

Для диапазона $2 \le i < 7$ (то есть для $i = 2, 3, 4, 5, 6$) используется формула $P_i = \frac{i-1}{36}$. Произведем вычисления:

$P_2 = \frac{2-1}{36} = \frac{1}{36}$

$P_3 = \frac{3-1}{36} = \frac{2}{36}$

$P_4 = \frac{4-1}{36} = \frac{3}{36}$

$P_5 = \frac{5-1}{36} = \frac{4}{36}$

$P_6 = \frac{6-1}{36} = \frac{5}{36}$

Для диапазона $8 \le i \le 12$ (то есть для $i = 8, 9, 10, 11, 12$) используется формула $P_i = \frac{13-i}{36}$. Произведем вычисления:

$P_8 = \frac{13-8}{36} = \frac{5}{36}$

$P_9 = \frac{13-9}{36} = \frac{4}{36}$

$P_{10} = \frac{13-10}{36} = \frac{3}{36}$

$P_{11} = \frac{13-11}{36} = \frac{2}{36}$

$P_{12} = \frac{13-12}{36} = \frac{1}{36}$

Следует отметить, что для значения $i=7$ данная формула не определена.

2. Сравнение с данными таблицы распределения.

Теперь рассмотрим "опыт", упомянутый в задаче, — бросок двух игральных костей. Случайная величина X — это сумма выпавших очков. Общее число равновозможных исходов равно $6 \times 6 = 36$. Таблица распределения вероятностей для X выглядит следующим образом:

$P(X=2) = 1/36$ (исход 1+1)

$P(X=3) = 2/36$ (исходы 1+2, 2+1)

$P(X=4) = 3/36$ (исходы 1+3, 2+2, 3+1)

$P(X=5) = 4/36$ (исходы 1+4, 2+3, 3+2, 4+1)

$P(X=6) = 5/36$ (исходы 1+5, 2+4, 3+3, 4+2, 5+1)

$P(X=7) = 6/36$ (исходы 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1)

$P(X=8) = 5/36$ (исходы 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2)

$P(X=9) = 4/36$ (исходы 3+6, 4+5, 5+4, 6+3)

$P(X=10) = 3/36$ (исходы 4+6, 5+5, 6+4)

$P(X=11) = 2/36$ (исходы 5+6, 6+5)

$P(X=12) = 1/36$ (исход 6+6)

Сравнив результаты, полученные по формуле, с вероятностями из таблицы распределения, можно сделать вывод, что они полностью совпадают для всех значений $i$, для которых формула определена ($i \in \{2,3,4,5,6,8,9,10,11,12\}$). Единственное отличие состоит в том, что формула не задает значение вероятности для суммы $i=7$, в то время как в классической модели для броска двух костей эта вероятность существует и равна $P(X=7) = \frac{6}{36}$.

Ответ: Вероятности, рассчитанные по формуле, полностью совпадают с вероятностями распределения суммы очков при броске двух игральных костей для всех значений $i$ от 2 до 12, за исключением $i=7$. Для $i=7$ формула не определена, в то время как теоретическая вероятность этого события равна $\frac{6}{36}$.

1. Являются ли случайными величины:
а) число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за сутки;
б) выпадение 5 очков на игральной кости при ее однократном бросании?

2. В каких случаях измерение скорости движения и температуры воздуха, роста и массы ребенка будет дискретной случайной величиной, в каких случаях — непрерывной?

3. Как можно задать соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями?

4. Что можно узнать по распределению дискретной случайной величины $X$?

5. Что собой представляет многоугольник распределения дискретной случайной величины $X$?

6. Между чем закон распределения дискретной случайной величины устанавливает связь?

7.Что такое ряд распределения дискретной случайной величины $X$?

а) Число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за сутки, является случайной величиной. Это связано с тем, что данное число заранее неизвестно и может принимать различные целые неотрицательные значения ($0, 1, 2, ...$) в зависимости от множества случайных факторов. Так как эта величина принимает отдельные, изолированные друг от друга значения, она является дискретной случайной величиной. Ответ:

б) Выпадение 5 очков на игральной кости само по себе является не случайной величиной, а случайным событием — одним из возможных исходов эксперимента. Случайная величина — это числовая характеристика исхода. В данном случае случайной величиной $X$ будет число очков, выпавшее на кости. Эта величина может принимать значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Событие «выпадение 5 очков» соответствует тому, что случайная величина $X$ приняла значение 5. Ответ:

2. Скорость движения, температура воздуха, рост и масса ребенка по своей физической природе являются непрерывными величинами, так как они могут принимать любые значения в некотором диапазоне. Однако в зависимости от способа измерения они могут рассматриваться и как дискретные, и как непрерывные случайные величины.

Дискретной случайная величина будет в тех случаях, когда результат измерения округляется или фиксируется прибором с определенной дискретностью. Например:

- Скорость движения, отображаемая на цифровом спидометре, который показывает только целые значения (например, 60 км/ч, 61 км/ч).

- Температура воздуха, измеренная цифровым термометром с точностью до десятых долей градуса (например, 21.1°С, 21.2°С).

- Рост ребенка, измеренный с точностью до целого сантиметра (например, 110 см, 111 см).

- Масса ребенка, измеренная на весах с точностью до 100 грамм (например, 15.1 кг, 15.2 кг).

Непрерывной случайная величина считается в теоретических моделях или когда точность измерения настолько высока, что множество возможных значений практически покрывает весь диапазон. Например, в физических расчетах или в статистическом моделировании эти величины чаще всего рассматриваются как непрерывные, подчиняющиеся, например, нормальному закону распределения, так как это позволяет использовать более мощный математический аппарат. Ответ:

3. Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями можно задать несколькими способами. Такое соответствие называется законом распределения случайной величины. Основные способы задания:

1. Табличный способ (в виде ряда распределения): составляется таблица, в первой строке которой указываются все возможные значения случайной величины $x_i$, а во второй — соответствующие им вероятности $p_i = P(X=x_i)$.

2. Аналитический способ (в виде формулы): задается формула, позволяющая вычислить вероятность $p_i$ для каждого возможного значения $x_i$. Например, для биномиального распределения формула имеет вид $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$.

3. Графический способ: строится график, наглядно представляющий распределение. Для дискретных величин это чаще всего многоугольник распределения или столбчатая диаграмма. Ответ:

4. Распределение дискретной случайной величины $X$ содержит полную информацию о ее вероятностном поведении. По распределению можно узнать:

- Все возможные значения, которые может принимать случайная величина.

- Вероятность того, что случайная величина примет каждое конкретное из своих возможных значений.

- Вероятность того, что значение случайной величины попадет в заданный интервал (путем суммирования вероятностей соответствующих значений).

- Рассчитать ее основные числовые характеристики: математическое ожидание (среднее значение), дисперсию (меру разброса), среднее квадратическое отклонение, моду (наиболее вероятное значение) и медиану. Ответ:

5.Многоугольник распределения дискретной случайной величины $X$ — это один из способов графического представления ее закона распределения. Он представляет собой ломаную линию, соединяющую точки с координатами $(x_i, p_i)$, где $x_i$ — это возможные значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности. Для построения многоугольника распределения на оси абсцисс откладывают возможные значения величины $X$, а на оси ординат — их вероятности. Затем точки $(x_1, p_1), (x_2, p_2), ..., (x_n, p_n)$ последовательно соединяют отрезками прямых. Этот график наглядно показывает, какие значения являются более вероятными, а какие — менее, и дает представление о форме распределения. Ответ:

6. Закон распределения дискретной случайной величины устанавливает связь (соответствие) между всеми возможными значениями, которые может принимать эта случайная величина, и вероятностями, с которыми она принимает эти значения. Ответ:

7.Ряд распределения дискретной случайной величины $X$ — это табличный способ задания ее закона распределения. Он представляет собой таблицу, состоящую из двух строк (или столбцов). В первой строке перечисляются все возможные значения случайной величины в порядке возрастания: $x_1, x_2, ..., x_n$. Во второй строке указываются соответствующие им вероятности: $p_1, p_2, ..., p_n$, где $p_i = P(X = x_i)$. Для ряда распределения обязательно выполняется условие нормировки: сумма всех вероятностей должна быть равна единице, то есть $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$. Ответ:

52.1. 1) Являются ли случайными величины:

а) число телефонных звонков в справочное бюро автовокзала за сутки;

б) выпадение 3 и 5 очков на игральной кости при ее двукратном бросании?

2) Являются ли непрерывными величины:

а) температура воздуха в городе $N$ в течение суток;

б) скорость движения поезда на перегоне в 50 км;

в) скорость движения поезда в момент времени $t_0$?

1) Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определение случайной величины. Случайная величина — это переменная, которая в результате случайного эксперимента принимает определенное числовое значение, причем заранее неизвестно какое именно.

а) Число телефонных звонков в справочное бюро автовокзала за сутки является случайной величиной. Мы не можем заранее точно предсказать, сколько звонков поступит. Это число зависит от множества случайных факторов. В результате наблюдения (эксперимента) за сутками мы получим конкретное неотрицательное целое число (0, 1, 2, ...). Так как результат эксперимента — это число, и оно заранее неизвестно, то это случайная величина. Более того, это дискретная случайная величина, так как она может принимать только отдельные, изолированные значения. Ответ: Да, является.

б) Выпадение 3 и 5 очков на игральной кости при ее двукратном бросании — это не случайная величина, а случайное событие. Случайная величина должна принимать числовое значение, а "выпадение 3 и 5" — это описание качественного исхода эксперимента (например, комбинации (3, 5) или (5, 3)). Случайной величиной, связанной с этим экспериментом, могла бы быть, например, сумма выпавших очков, которая принимает значения из множества ${2, 3, ..., 12}$. Само по себе описание исхода не является числовой переменной. Ответ: Нет, не является. Это случайное событие.

2) Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определение непрерывной величины. Непрерывная величина — это величина, которая может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Количество ее возможных значений несчетно.

а) Температура воздуха в городе N в течение суток является непрерывной величиной. Температура — это физическая величина, которая может принимать любые действительные значения в определенном диапазоне. Между любыми двумя возможными значениями температуры всегда можно найти другое возможное значение. Таким образом, множество ее возможных значений непрерывно. Ответ: Да, является.

б) Скорость движения поезда на перегоне в 50 км является непрерывной величиной. Скорость является физической величиной, которая может изменяться плавно и принимать любые значения в некотором диапазоне (например, от 0 км/ч до максимальной разрешенной скорости). Скорость поезда не меняется скачкообразно, а проходит все промежуточные значения. Ответ: Да, является.

в) Скорость движения поезда в момент времени $t_0$ является непрерывной величиной. Если рассматривать серию поездок по одному и тому же маршруту как серию экспериментов, то скорость в момент времени $t_0$ может варьироваться от поездки к поездке из-за различных случайных факторов. Так как сама по себе скорость является непрерывной физической величиной, то и эта случайная величина будет непрерывной, то есть сможет принять любое значение из некоторого интервала. Ответ: Да, является.

52.2. Заполните таблицу 32, задающую закон распределения случайной величины $X$.

Таблица 32

Данная таблица представляет собой закон распределения дискретной случайной величины $X$. В первой строке таблицы указаны возможные значения, которые может принимать случайная величина ($x_i$), а во второй — соответствующие этим значениям вероятности ($p_i$).

Ключевое свойство любого закона распределения вероятностей состоит в том, что сумма вероятностей всех возможных исходов должна быть равна единице. Это выражается формулой: $ \sum p_i = 1 $

В данной задаче нам известны три из четырех вероятностей. Обозначим неизвестную вероятность $P(X=21)$ как $p_x$. Тогда, согласно свойству суммы вероятностей, мы можем записать следующее уравнение: $ P(X=3) + P(X=21) + P(X=30) + P(X=50) = 1 $

Подставим известные значения из таблицы в это уравнение: $ 0,25 + p_x + 0,25 + 0,25 = 1 $

Теперь сложим известные вероятности: $ 0,25 + 0,25 + 0,25 = 0,75 $

Уравнение принимает вид: $ p_x + 0,75 = 1 $

Чтобы найти $p_x$, вычтем 0,75 из 1: $ p_x = 1 - 0,75 $ $ p_x = 0,25 $

Следовательно, пропущенное в таблице значение вероятности для $X=21$ равно 0,25. Итоговая заполненная таблица выглядит так:

Ответ: 0,25