Вопросы, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Являются ли случайными величины:
а) число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за сутки;
б) выпадение 5 очков на игральной кости при ее однократном бросании?

2. В каких случаях измерение скорости движения и температуры воздуха, роста и массы ребенка будет дискретной случайной величиной, в каких случаях — непрерывной?

3. Как можно задать соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями?

4. Что можно узнать по распределению дискретной случайной величины $X$?

5. Что собой представляет многоугольник распределения дискретной случайной величины $X$?

6. Между чем закон распределения дискретной случайной величины устанавливает связь?

7.Что такое ряд распределения дискретной случайной величины $X$?

а) Число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за сутки, является случайной величиной. Это связано с тем, что данное число заранее неизвестно и может принимать различные целые неотрицательные значения ($0, 1, 2, ...$) в зависимости от множества случайных факторов. Так как эта величина принимает отдельные, изолированные друг от друга значения, она является дискретной случайной величиной. Ответ:

б) Выпадение 5 очков на игральной кости само по себе является не случайной величиной, а случайным событием — одним из возможных исходов эксперимента. Случайная величина — это числовая характеристика исхода. В данном случае случайной величиной $X$ будет число очков, выпавшее на кости. Эта величина может принимать значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Событие «выпадение 5 очков» соответствует тому, что случайная величина $X$ приняла значение 5. Ответ:

2. Скорость движения, температура воздуха, рост и масса ребенка по своей физической природе являются непрерывными величинами, так как они могут принимать любые значения в некотором диапазоне. Однако в зависимости от способа измерения они могут рассматриваться и как дискретные, и как непрерывные случайные величины.

Дискретной случайная величина будет в тех случаях, когда результат измерения округляется или фиксируется прибором с определенной дискретностью. Например:

- Скорость движения, отображаемая на цифровом спидометре, который показывает только целые значения (например, 60 км/ч, 61 км/ч).

- Температура воздуха, измеренная цифровым термометром с точностью до десятых долей градуса (например, 21.1°С, 21.2°С).

- Рост ребенка, измеренный с точностью до целого сантиметра (например, 110 см, 111 см).

- Масса ребенка, измеренная на весах с точностью до 100 грамм (например, 15.1 кг, 15.2 кг).

Непрерывной случайная величина считается в теоретических моделях или когда точность измерения настолько высока, что множество возможных значений практически покрывает весь диапазон. Например, в физических расчетах или в статистическом моделировании эти величины чаще всего рассматриваются как непрерывные, подчиняющиеся, например, нормальному закону распределения, так как это позволяет использовать более мощный математический аппарат. Ответ:

3. Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями можно задать несколькими способами. Такое соответствие называется законом распределения случайной величины. Основные способы задания:

1. Табличный способ (в виде ряда распределения): составляется таблица, в первой строке которой указываются все возможные значения случайной величины $x_i$, а во второй — соответствующие им вероятности $p_i = P(X=x_i)$.

2. Аналитический способ (в виде формулы): задается формула, позволяющая вычислить вероятность $p_i$ для каждого возможного значения $x_i$. Например, для биномиального распределения формула имеет вид $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$.

3. Графический способ: строится график, наглядно представляющий распределение. Для дискретных величин это чаще всего многоугольник распределения или столбчатая диаграмма. Ответ:

4. Распределение дискретной случайной величины $X$ содержит полную информацию о ее вероятностном поведении. По распределению можно узнать:

- Все возможные значения, которые может принимать случайная величина.

- Вероятность того, что случайная величина примет каждое конкретное из своих возможных значений.

- Вероятность того, что значение случайной величины попадет в заданный интервал (путем суммирования вероятностей соответствующих значений).

- Рассчитать ее основные числовые характеристики: математическое ожидание (среднее значение), дисперсию (меру разброса), среднее квадратическое отклонение, моду (наиболее вероятное значение) и медиану. Ответ:

5.Многоугольник распределения дискретной случайной величины $X$ — это один из способов графического представления ее закона распределения. Он представляет собой ломаную линию, соединяющую точки с координатами $(x_i, p_i)$, где $x_i$ — это возможные значения случайной величины, а $p_i$ — соответствующие им вероятности. Для построения многоугольника распределения на оси абсцисс откладывают возможные значения величины $X$, а на оси ординат — их вероятности. Затем точки $(x_1, p_1), (x_2, p_2), ..., (x_n, p_n)$ последовательно соединяют отрезками прямых. Этот график наглядно показывает, какие значения являются более вероятными, а какие — менее, и дает представление о форме распределения. Ответ:

6. Закон распределения дискретной случайной величины устанавливает связь (соответствие) между всеми возможными значениями, которые может принимать эта случайная величина, и вероятностями, с которыми она принимает эти значения. Ответ:

7.Ряд распределения дискретной случайной величины $X$ — это табличный способ задания ее закона распределения. Он представляет собой таблицу, состоящую из двух строк (или столбцов). В первой строке перечисляются все возможные значения случайной величины в порядке возрастания: $x_1, x_2, ..., x_n$. Во второй строке указываются соответствующие им вероятности: $p_1, p_2, ..., p_n$, где $p_i = P(X = x_i)$. Для ряда распределения обязательно выполняется условие нормировки: сумма всех вероятностей должна быть равна единице, то есть $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$. Ответ: