Страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Имеют ли смысл выражения (15.9–15.12):

15.9. 1) $ \arcsin(-3);$

2) $ \arcsin(0,7);$

3) $ \arcsin\left(\frac{3}{5}\right);$

4) $ \arcsin\left(-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)?$

Выражение $\arcsin(a)$ имеет смысл (определено), если его аргумент $a$ принадлежит области определения функции арксинус, то есть $a \in [-1, 1]$ или, что то же самое, $-1 \le a \le 1$. Проверим это условие для каждого из данных выражений.

1) В выражении $\arcsin(-3)$ аргумент $a = -3$. Проверяем выполнение условия $-1 \le a \le 1$. Так как $-3 < -1$, условие не выполняется, и число $-3$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Следовательно, данное выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

2) В выражении $\arcsin(0,7)$ аргумент $a = 0,7$. Проверяем выполнение условия $-1 \le a \le 1$. Так как $-1 \le 0,7 \le 1$, условие выполняется, и число $0,7$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Следовательно, данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

3) В выражении $\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)$ аргумент $a = \frac{3}{5}$. В десятичной форме это $a = 0,6$. Проверяем выполнение условия $-1 \le a \le 1$. Так как $-1 \le 0,6 \le 1$, условие выполняется, и число $\frac{3}{5}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Следовательно, данное выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

4) В выражении $\arcsin\left(-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)$ аргумент $a = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$. Чтобы проверить, принадлежит ли это число отрезку $[-1, 1]$, сравним его модуль $|a| = \left|-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right| = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ с числом $1$. Для этого сравним $3\sqrt{3}$ и $4$. Поскольку оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты: $(3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$ и $4^2 = 16$. Так как $27 > 16$, то и $3\sqrt{3} > 4$. Разделив обе части неравенства на 4, получаем $\frac{3\sqrt{3}}{4} > 1$. Это означает, что $a = -\frac{3\sqrt{3}}{4} < -1$, и, следовательно, аргумент не принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Таким образом, данное выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

15.10. 1) $\arccos1,2;$

2) $\arccos(-1);$

3) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{5}\right);$

4) $\arccos\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)?$

Для того чтобы выражение $\arccos(a)$ имело смысл, необходимо и достаточно, чтобы его аргумент $a$ принадлежал области определения функции арккосинус, то есть отрезку $[-1, 1]$. Другими словами, должно выполняться неравенство $-1 \le a \le 1$. Проверим это условие для каждого из данных выражений.

1) arccos1,2

В данном случае аргумент $a = 1,2$. Проверяем выполнение условия $-1 \le 1,2 \le 1$. Это неравенство неверно, поскольку $1,2 > 1$. Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

2) arccos(-1)

В данном случае аргумент $a = -1$. Проверяем выполнение условия $-1 \le -1 \le 1$. Это неравенство верно, так как $-1$ находится на границе отрезка $[-1, 1]$. Следовательно, выражение имеет смысл. Его значение равно $\pi$, поскольку $\cos(\pi) = -1$ и угол $\pi$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$, который является областью значений арккосинуса.

Ответ: имеет смысл.

3) arccos($-\frac{\sqrt{2}}{5}$)

В данном случае аргумент $a = -\frac{\sqrt{2}}{5}$. Проверяем выполнение условия $-1 \le -\frac{\sqrt{2}}{5} \le 1$. Чтобы проверить это неравенство, сравним модуль аргумента $|a| = \frac{\sqrt{2}}{5}$ с единицей. Возведем обе части в квадрат (так как они положительны): $(\frac{\sqrt{2}}{5})^2 = \frac{2}{25}$. Поскольку $\frac{2}{25} < 1$, то и $\frac{\sqrt{2}}{5} < 1$. Это означает, что $-1 < -\frac{\sqrt{2}}{5} < 1$. Условие выполняется, следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

4) arccos($\frac{3\sqrt{3}}{2}$)

В данном случае аргумент $a = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Проверяем выполнение условия $-1 \le \frac{3\sqrt{3}}{2} \le 1$. Сравним значение $a$ с 1. Поскольку $\sqrt{3} > \sqrt{1} = 1$, то $3\sqrt{3} > 3$. Разделив обе части на 2, получим $\frac{3\sqrt{3}}{2} > \frac{3}{2} = 1,5$. Так как $a = \frac{3\sqrt{3}}{2} > 1$, условие не выполняется. Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

15.11.1) $arcctg(-1)$;

2) $arctg(0,12)$;

3) $arctg(21)$;

4) $arctg\left(-\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)$?

1) arcctg(-1)

Арккотангенс числа $a$, обозначаемый как $\text{arcctg}(a)$, — это угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $a$.

То есть, мы ищем такой угол $\alpha$, что $\text{ctg}(\alpha) = -1$ и $0 < \alpha < \pi$.

Для нахождения арккотангенса отрицательного числа используется формула: $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$.

Применим эту формулу для нашего случая:

$\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.

Мы знаем из таблицы значений тригонометрических функций, что котангенс угла $\frac{\pi}{4}$ равен 1, то есть $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$. Следовательно, $\text{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим это значение в нашу формулу:

$\text{arcctg}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Значение $\frac{3\pi}{4}$ находится в интервале $(0, \pi)$, значит, это и есть искомый ответ.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

2) arctg(0,12)

Арктангенс числа $a$, обозначаемый как $\text{arctg}(a)$, — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

В данном случае мы ищем угол $\alpha$, для которого $\text{tg}(\alpha) = 0,12$.

Число $0,12$ не является "табличным" значением тангенса для стандартных углов (таких как $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}$ и т.д.).

Поэтому выражение $\text{arctg}(0,12)$ является точным значением и не может быть упрощено или выражено через $\pi$ в виде простой дроби. Его значение можно найти лишь приближенно с помощью калькулятора или математических таблиц.

Ответ: $\text{arctg}(0,12)$

3) arctg(21)

Аналогично предыдущему пункту, мы ищем угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $21$.

То есть, $\text{tg}(\alpha) = 21$.

Число $21$ также не является табличным значением тангенса. Поэтому выражение $\text{arctg}(21)$ является точной и наиболее простой формой записи ответа.

Поскольку $21 > 0$, значение $\text{arctg}(21)$ является положительным углом, находящимся в первой четверти, близким к $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\text{arctg}(21)$

4) arctg(-5√3/3)

Мы ищем угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, для которого $\text{tg}(\alpha) = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Воспользуемся свойством нечетности функции арктангенса: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.

$\text{arctg}(-\frac{5\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{5\sqrt{3}}{3})$.

Рассмотрим значение аргумента $\frac{5\sqrt{3}}{3}$. Стандартные значения тангенса, которые содержат $\sqrt{3}$, это $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (для угла $\frac{\pi}{6}$) и $\sqrt{3}$ (для угла $\frac{\pi}{3}$).

Значение $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ не является одним из этих стандартных значений.

Следовательно, так же, как и в заданиях 2 и 3, данное выражение нельзя упростить и представить в виде дроби от $\pi$. Оно является точным значением.

Ответ: $\text{arctg}(-\frac{5\sqrt{3}}{3})$

15.12. 1) $ \arcsin\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right); $

2) $ \arccos\left(-3\frac{1}{5}\right); $

3) $ 2\operatorname{arctg}\left(-\sqrt{3}\right); $

4) $ \arcsin 5; $

5) $ \operatorname{arctg} 17; $

6) $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)? $

Чтобы определить, какие из данных выражений имеют смысл, необходимо проверить, принадлежит ли аргумент каждой обратной тригонометрической функции её области определения.

1) $\arcsin(-\frac{3\sqrt{3}}{2})$

Область определения функции арксинус $y = \arcsin(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Необходимо проверить, принадлежит ли аргумент $x = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$ этому отрезку.

Возведем модуль аргумента в квадрат: $|-\frac{3\sqrt{3}}{2}|^2 = (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{9 \cdot 3}{4} = \frac{27}{4} = 6.75$.

Так как $6.75 > 1$, то $|-\frac{3\sqrt{3}}{2}| > 1$, и, следовательно, $-\frac{3\sqrt{3}}{2} < -1$.

Аргумент не входит в область определения арксинуса, поэтому выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

2) $\arccos(-3\frac{1}{5})$

Область определения функции арккосинус $y = \arccos(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Аргумент выражения равен $-3\frac{1}{5} = -3.2$.

Поскольку $-3.2 < -1$, аргумент не входит в область определения арккосинуса.

Ответ: не имеет смысла.

3) $2\text{arcctg}(-\sqrt{3})$

Область определения функции арккотангенс $y = \text{arcctg}(x)$ — это множество всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$.

Аргумент $-\sqrt{3}$ является действительным числом, поэтому выражение $\text{arcctg}(-\sqrt{3})$ определено. Следовательно, и все выражение $2\text{arcctg}(-\sqrt{3})$ имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

4) $\arcsin(5)$

Область определения функции арксинус $y = \arcsin(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Аргумент выражения равен $5$.

Поскольку $5 > 1$, аргумент не входит в область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

5) $\text{arctg}(17)$

Область определения функции арктангенс $y = \text{arctg}(x)$ — это множество всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$.

Аргумент $17$ является действительным числом, поэтому выражение $\text{arctg}(17)$ определено.

Ответ: имеет смысл.

6) $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{3})$

Область определения функции арккосинус $y = \arccos(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Необходимо проверить, принадлежит ли аргумент $x = -\frac{\sqrt{2}}{3}$ этому отрезку.

Возведем модуль аргумента в квадрат: $|-\frac{\sqrt{2}}{3}|^2 = (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{2}{9}$.

Так как $0 < \frac{2}{9} < 1$, то и $0 < |-\frac{\sqrt{2}}{3}| < 1$. Это означает, что $-1 < -\frac{\sqrt{2}}{3} < 0$.

Аргумент принадлежит области определения арккосинуса.

Ответ: имеет смысл.

15.13. Сравните значения выражений:

1) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ и $\arcsin (-1)$;

2) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ и $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ и $\arcsin 0,6$;

4) $\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ и $\arccos(-0,5).

1) Чтобы сравнить значения выражений $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $arcsin(-1)$, найдем значение каждого из них.

По определению, $arccos(a)$ – это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. Используя формулу $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$, получаем:

$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

По определению, $arcsin(a)$ – это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

$arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$, так как $sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ и $-\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Теперь сравним полученные значения: $\frac{3\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{2}$.

Поскольку $\frac{3\pi}{4}$ является положительным числом, а $-\frac{\pi}{2}$ — отрицательным, то $\frac{3\pi}{4} > -\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) > arcsin(-1)$.

Ответ: $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) > arcsin(-1)$.

2) Сравним значения выражений $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ и $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем значение $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Используя формулу $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$, получаем:

$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Найдем значение $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, так как $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Теперь сравним полученные значения: $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 6: $\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6}$.

Сравниваем $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{2\pi}{6}$. Так как $5\pi > 2\pi$, то $\frac{5\pi}{6} > \frac{2\pi}{6}$.

Следовательно, $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) > arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) > arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

3) Сравним значения выражений $arctg(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $arcsin(0,6)$.

Область значений функции $arctg(x)$ — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Для отрицательного аргумента $x<0$ значение $arctg(x)$ также будет отрицательным, то есть $arctg(-\frac{\sqrt{2}}{2}) < 0$.

Область значений функции $arcsin(x)$ — это промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Для положительного аргумента $x>0$ значение $arcsin(x)$ также будет положительным, то есть $arcsin(0,6) > 0$.

Сравнивая отрицательное число $arctg(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ и положительное число $arcsin(0,6)$, мы можем заключить, что любое отрицательное число меньше любого положительного.

Следовательно, $arctg(-\frac{\sqrt{2}}{2}) < arcsin(0,6)$.

Ответ: $arctg(-\frac{\sqrt{2}}{2}) < arcsin(0,6)$.

4) Сравним значения выражений $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$ и $arccos(-0,5)$.

Найдем значение каждого выражения.

По определению, $arcctg(a)$ – это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $a$. Используя формулу $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$, получаем:

$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Найдем значение $arccos(-0,5)$. Используя формулу $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$, получаем:

$arccos(-0,5) = arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Так как оба выражения равны $\frac{2\pi}{3}$, то они равны между собой.

Следовательно, $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = arccos(-0,5)$.

Ответ: $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = arccos(-0,5)$.

Найдите значения выражений (15.14–15.16):

15.14. 1) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\arcsin (-0,5)$; 2) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $\arccos 0,5+\arcsin (-1)$; 4) $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}-\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

1) $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \arcsin(-0,5)$

Для вычисления используем свойства обратных тригонометрических функций: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$ и $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Найдем значение каждого слагаемого:

$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

$\arcsin(-0,5) = \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Теперь сложим полученные значения: $\frac{3\pi}{4} + (-\frac{\pi}{6}) = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi - 2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.

2) $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Значение $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ из таблицы равно $\frac{\pi}{3}$.

Теперь выполним вычитание: $\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi - 2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) $\arccos 0,5 + \arcsin(-1)$

Найдем значение каждого слагаемого:

$\arccos(0,5) = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$ (по определению арксинуса).

Теперь сложим полученные значения: $\frac{\pi}{3} + (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi - 3\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$.

4) $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} - \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$

Найдем значение каждого члена выражения:

$\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Используем свойство $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$:$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Теперь выполним вычитание: $\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi + 3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{12}$.

15.15.1) $\text{arcctg}(-1) - \text{arcctg}\sqrt{3};$

2) $\text{arcctg}(-1) + \text{arcctg}(-\sqrt{3});$

3) $\text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \text{arcctg}(-\sqrt{3});$

4) $\text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \text{arcctg}(-\sqrt{3}).$

1) Для решения выражения $arcctg(-1) - arctg(\sqrt{3})$ найдем значения каждого аркфункции по отдельности.

Значение арккотангенса, $arcctg(x)$, — это угол $\alpha$ из интервала $(0; \pi)$, для которого $ctg(\alpha) = x$. Для отрицательных аргументов используется свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.

Найдем $arcctg(-1)$:

$arcctg(-1) = \pi - arcctg(1)$.

Так как $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $arcctg(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Значение арктангенса, $arctg(x)$, — это угол $\beta$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $tg(\beta) = x$.

Найдем $arctg(\sqrt{3})$:

Так как $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{3} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Теперь выполним вычитание:

$arcctg(-1) - arctg(\sqrt{3}) = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3}$.

Приводим к общему знаменателю 12:

$\frac{3\pi \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{\pi \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{9\pi - 4\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{12}$.

2) Вычислим значение выражения $arctg(-1) + arcctg(-\sqrt{3})$.

Арктангенс является нечетной функцией, поэтому используется свойство $arctg(-x) = -arctg(x)$.

Найдем $arctg(-1)$:

$arctg(-1) = -arctg(1)$. Так как $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Для арккотангенса используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.

Найдем $arcctg(-\sqrt{3})$:

$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$. Так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, то $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь сложим полученные значения:

$arctg(-1) + arcctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{6}$.

Приводим к общему знаменателю 12:

$\frac{-\pi \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{5\pi \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{-3\pi + 10\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.

3) Вычислим значение выражения $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + arcctg(-\sqrt{3})$.

Для обоих слагаемых используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.

Найдем $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$:

$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Так как $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Найдем $arcctg(-\sqrt{3})$:

$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$. Так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, то $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь сложим полученные значения:

$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + arcctg(-\sqrt{3}) = \frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{6}$.

Приводим к общему знаменателю 6:

$\frac{2\pi \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5\pi}{6} = \frac{4\pi + 5\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

4) Вычислим значение выражения $arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + arcctg(-\sqrt{3})$.

Найдем значение каждого слагаемого.

Для арктангенса используем свойство нечетности $arctg(-x) = -arctg(x)$.

$arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -arctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Так как $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то $arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

Для арккотангенса используем свойство $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$.

$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$. Так как $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$, то $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь сложим полученные значения:

$arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + arcctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{-\pi + 5\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

15.16.

1) $\arccos (-1) - \arctan \sqrt{3}$;

2) $\arcsin (-1) + \arctan (-\sqrt{3})$;

3) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$;

4) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arcctg}(-1)$.

1) Найдем значение выражения $arccos(-1) - arctg(\sqrt{3})$.

По определению арккосинуса, $arccos(-1)$ — это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен -1. Таким углом является $\pi$. Следовательно, $arccos(-1) = \pi$.

По определению арктангенса, $arctg(\sqrt{3})$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Таким углом является $\frac{\pi}{3}$. Следовательно, $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Теперь вычислим разность: $arccos(-1) - arctg(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

2) Найдем значение выражения $arcsin(-1) + arcctg(-\sqrt{3})$.

По определению арксинуса, $arcsin(-1)$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен -1. Таким углом является $-\frac{\pi}{2}$. Следовательно, $arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Для арккотангенса отрицательного аргумента воспользуемся формулой $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Таким образом, $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$.

По определению арккотангенса, $arcctg(\sqrt{3})$ — это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$. Таким углом является $\frac{\pi}{6}$.

Значит, $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь вычислим сумму: $arcsin(-1) + arcctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

3) Найдем значение выражения $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arcctg(-\sqrt{3})$.

Для арксинуса отрицательного аргумента воспользуемся формулой $arcsin(-x) = -arcsin(x)$. Таким образом, $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

По определению, $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким углом является $\frac{\pi}{3}$.

Значит, $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Значение $arcctg(-\sqrt{3})$ было найдено в предыдущем пункте: $arcctg(-\sqrt{3}) = \frac{5\pi}{6}$.

Теперь вычислим сумму: $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arcctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

4) Найдем значение выражения $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arcctg(-1)$.

Для арккосинуса отрицательного аргумента воспользуемся формулой $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$. Таким образом, $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.

По определению, $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким углом является $\frac{\pi}{6}$.

Значит, $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Для арккотангенса отрицательного аргумента воспользуемся формулой $arcctg(-x) = \pi - arcctg(x)$. Таким образом, $arcctg(-1) = \pi - arcctg(1)$.

По определению, $arcctg(1)$ — это угол из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен 1. Таким углом является $\frac{\pi}{4}$.

Значит, $arcctg(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Теперь вычислим сумму: $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arcctg(-1) = \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{4} = \frac{10\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{19\pi}{12}$.

15.17. Вычислите:

1) $2\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 3\text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2\text{arcctg}(-1);$

2) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\text{arcctg}\left(-\sqrt{3}\right) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \text{arctg} 1;$

3) $3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - \text{arctg}(-1) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \text{arcctg}\left(-\sqrt{3}\right);$

4) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \text{arctg}\left(-\sqrt{3}\right) - \arcsin(-1) - 2 \text{arctg}\left(\sqrt{3}\right).$

Для решения данных задач необходимо знать значения основных обратных тригонометрических функций и их свойства.

Основные свойства:

• $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$
• $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$
• $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$
• $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$

Основные значения:

• $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$, $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$
• $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$
• $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, $\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$
• $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$

1) $2\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 3\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2\operatorname{arcctg}(-1)$

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности:

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$

$\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}$

$\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$

$\operatorname{arcctg}(-1) = \pi - \operatorname{arcctg}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$2\left(-\frac{\pi}{3}\right) - 3\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6} - 2\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} - \frac{6\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{6} - \frac{3\pi}{2} = -\frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$

Ответ: $-\frac{3\pi}{2}$

2) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arctg}1$

Вычислим значение каждого слагаемого:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$2\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = 2(\pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3})) = 2\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{3}$

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3}$

$\operatorname{arctg}1 = \frac{\pi}{4}$

Подставим значения в выражение:

$\frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \left(\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) + \left(\frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{4} + \frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$

Ответ: $\frac{7\pi}{3}$

3) $3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} - \operatorname{arctg}(-1) + \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$

Вычислим значение каждого слагаемого:

$3\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\left(\frac{\pi}{3}\right) = \pi$

$\operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4}$

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

Подставим значения в выражение:

$\pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \pi + \frac{4\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \pi + \pi + \frac{5\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$

Ответ: $\frac{17\pi}{6}$

4) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) - \arcsin(-1) - 2\operatorname{arctg}(\sqrt{3})$

Вычислим значение каждого слагаемого:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

$\arcsin(-1) = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$

$2\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = 2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$

Подставим значения в выражение:

$\frac{5\pi}{6} + \left(-\frac{\pi}{3}\right) - \left(-\frac{\pi}{2}\right) - \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi+3\pi-2\pi-4\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

Ответ: $\frac{\pi}{3}$