Номер 15.3, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.3.1) $sint = - \frac{\sqrt{3}}{2}, t \in [-0.5\pi; 0];$

2) $sint = 0.5, t \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right];$

3) $sint = \frac{\sqrt{2}}{2}, t \in [0; \pi];$

4) $sint = 1, t \in [0; \pi].$

1) Требуется решить уравнение $ \sin t = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ на интервале $ t \in [-0,5\pi; 0] $.

Общее решение для уравнения $ \sin t = a $ дается формулой $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Для нашего случая $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $, следовательно, $ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $.

Общее решение уравнения: $ t = (-1)^n (-\frac{\pi}{3}) + \pi n $.

Разобьем решение на две серии в зависимости от четности $ n $:

Первая серия (для четных $ n=2k $): $ t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Вторая серия (для нечетных $ n=2k+1 $): $ t = -(-\frac{\pi}{3}) + \pi(2k+1) = \frac{\pi}{3} + 2\pi k + \pi = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь выберем корни, принадлежащие интервалу $ [-0,5\pi; 0] $.

Для первой серии: при $ k=0 $, $ t = -\frac{\pi}{3} $. Этот корень удовлетворяет условию, так как $ -0,5\pi \le -\frac{\pi}{3} \le 0 $. При $ k=1 $, $ t = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} > 0 $. При $ k=-1 $, $ t = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} < -0,5\pi $.

Для второй серии: при $ k=0 $, $ t = \frac{4\pi}{3} > 0 $. При $ k=-1 $, $ t = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3} $. Этот корень не удовлетворяет условию, так как $ -\frac{2}{3}\pi < -0,5\pi $.

Таким образом, единственным решением на данном интервале является $ t = -\frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ t = -\frac{\pi}{3} $.

2) Требуется решить уравнение $ \sin t = 0,5 $ на интервале $ t \in [0; \frac{\pi}{2}] $.

Запишем $ 0,5 $ как $ \frac{1}{2} $. Уравнение: $ \sin t = \frac{1}{2} $.

Общее решение: $ t = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим две серии решений:

Первая серия ($ n=2k $): $ t = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $.

Вторая серия ($ n=2k+1 $): $ t = -\frac{\pi}{6} + \pi(2k+1) = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $.

Выберем корни из интервала $ [0; \frac{\pi}{2}] $.

Для первой серии: при $ k=0 $, $ t = \frac{\pi}{6} $. Этот корень принадлежит интервалу, так как $ 0 \le \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} $.

Для второй серии: при $ k=0 $, $ t = \frac{5\pi}{6} $. Этот корень не принадлежит интервалу, так как $ \frac{5\pi}{6} > \frac{\pi}{2} $.

Другие целочисленные значения $ k $ также дают корни вне указанного интервала.

Следовательно, единственное решение: $ t = \frac{\pi}{6} $.

Ответ: $ t = \frac{\pi}{6} $.

3) Требуется решить уравнение $ \sin t = \frac{\sqrt{2}}{2} $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.

Общее решение: $ t = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим две серии решений:

Первая серия ($ n=2k $): $ t = \frac{\pi}{4} + 2\pi k $.

Вторая серия ($ n=2k+1 $): $ t = -\frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $.

Выберем корни из интервала $ [0; \pi] $.

Для первой серии: при $ k=0 $, $ t = \frac{\pi}{4} $. Этот корень принадлежит интервалу $ [0; \pi] $.

Для второй серии: при $ k=0 $, $ t = \frac{3\pi}{4} $. Этот корень также принадлежит интервалу $ [0; \pi] $.

При других значениях $ k $ корни выходят за пределы заданного интервала.

Таким образом, уравнение имеет два решения на данном интервале.

Ответ: $ t_1 = \frac{\pi}{4}, t_2 = \frac{3\pi}{4} $.

4) Требуется решить уравнение $ \sin t = 1 $ на интервале $ t \in [0; \pi] $.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его общее решение имеет вид $ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Найдем корни, принадлежащие интервалу $ [0; \pi] $, перебирая значения $ n $.

При $ n=0 $, $ t = \frac{\pi}{2} $. Этот корень принадлежит интервалу $ [0; \pi] $, так как $ 0 \le \frac{\pi}{2} \le \pi $.

При $ n=1 $, $ t = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} $, что не входит в интервал.

При $ n=-1 $, $ t = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} $, что также не входит в интервал.

Единственное решение на данном интервале — $ t = \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ t = \frac{\pi}{2} $.