Номер 15.1, страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.1.Найдите число корней уравнения:

1) $x^5 = 6$, если $x \in (-\infty;+\infty)$

2) $\frac{5}{x-2} = -1$, если $x \in (-\infty;2)$

3) $x^8 = 1$, если $x \in [-10;+\infty)$

4) $\frac{-3}{x+3} = -2$, если $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$

5) $\cos x = -0,4$, если $x \in [-\pi; \pi]$

6) $\sin x = 0,6$, если $x \in (-\pi; 0]$

Начертите единичную окружность и отметьте точки $P_t$, для которых значение $t$ удовлетворяет равенству. Найдите значение $t$, принадлежащее указанным числовым промежуткам (15.2—15.5):

1) Дано уравнение $x^5 = 6$ на промежутке $x \in (-\infty; +\infty)$.Функция $y = x^5$ является степенной функцией с нечетным показателем. Эта функция монотонно возрастает на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$ и ее область значений также $(-\infty; +\infty)$. Следовательно, для любого действительного числа в правой части уравнение будет иметь ровно один действительный корень. В данном случае корень $x = \sqrt[5]{6}$ существует и он единственный. Этот корень принадлежит указанному промежутку.

Ответ: 1

2) Дано уравнение $\frac{5}{x - 2} = -1$ на промежутке $x \in (-\infty; 2)$.Сначала решим уравнение. Область допустимых значений уравнения: $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. Указанный промежуток $(-\infty; 2)$ удовлетворяет этому условию.Умножим обе части уравнения на $(x-2)$:

$5 = -1 \cdot (x-2)$

$5 = -x + 2$

$x = 2 - 5$

$x = -3$

Проверим, принадлежит ли найденный корень $x=-3$ заданному промежутку $(-\infty; 2)$. Так как $-3 < 2$, корень принадлежит промежутку.

Ответ: 1

3) Дано уравнение $x^8 = 1$ на промежутке $x \in [-10; +\infty)$.Это степенное уравнение с четным показателем. Уравнение вида $x^{2n} = a$ при $a > 0$ имеет два действительных корня: $x = \sqrt[2n]{a}$ и $x = -\sqrt[2n]{a}$.В нашем случае $x^8 = 1$, значит, корни уравнения:

$x_1 = \sqrt[8]{1} = 1$

$x_2 = -\sqrt[8]{1} = -1$

Теперь проверим, принадлежат ли эти корни указанному промежутку $[-10; +\infty)$.

Для $x_1 = 1$: $1 > -10$, значит, корень принадлежит промежутку.

Для $x_2 = -1$: $-1 > -10$, значит, корень также принадлежит промежутку.

Таким образом, уравнение имеет два корня на заданном промежутке.

Ответ: 2

4) Дано уравнение $\frac{-3}{x + 3} = -2$ на промежутке $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.Указанный промежуток является областью допустимых значений для данного уравнения. Решим уравнение:

$-3 = -2(x+3)$

$-3 = -2x - 6$

$2x = -6 + 3$

$2x = -3$

$x = -1.5$

Найденный корень $x = -1.5$ не равен $-3$, следовательно, он принадлежит заданному промежутку.

Ответ: 1

5) Дано уравнение $\cos x = -0.4$ на промежутке $x \in [-\pi; \pi]$.Значение $-0.4$ находится в области значений функции косинус, которая равна $[-1; 1]$, поэтому уравнение имеет решения. Промежуток $[-\pi; \pi]$ имеет длину $2\pi$, что соответствует полному периоду функции косинус.На этом промежутке любое значение из интервала $(-1, 1)$ косинус принимает ровно дважды.Графически, прямая $y = -0.4$ пересекает график функции $y = \cos x$ в двух точках на отрезке $[-\pi; \pi]$.Один корень $x_1 = \arccos(-0.4)$ находится в промежутке $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ и, следовательно, в $[-\pi; \pi]$.Второй корень $x_2 = -\arccos(-0.4)$ находится в промежутке $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$ и также принадлежит $[-\pi; \pi]$.Так как $\arccos(-0.4) \neq 0$, корни $x_1$ и $x_2$ различны.

Ответ: 2

6) Дано уравнение $\sin x = 0.6$ на промежутке $x \in (-\pi; 0]$.Рассмотрим область значений функции $y = \sin x$ на заданном промежутке. Промежуток $(-\pi; 0]$ соответствует третьей и четвертой координатным четвертям на единичной окружности.Для любого $x$ из этого промежутка значение синуса является неположительным, то есть $\sin x \le 0$. Точнее, область значений функции $y = \sin x$ на промежутке $(-\pi; 0]$ есть отрезок $[-1; 0]$.В уравнении требуется, чтобы $\sin x = 0.6$. Так как $0.6 > 0$, это значение не входит в область значений функции на заданном промежутке. Следовательно, на промежутке $(-\pi; 0]$ уравнение не имеет корней.

Ответ: 0