Объясните, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Какие значения в выражении $arctga$ может принимать число $a$? Почему?

Число a в выражении $arctg(a)$ может принимать абсолютно любое действительное (вещественное) значение. Это означает, что область определения функции арктангенс — это множество всех действительных чисел, что можно записать как $a \in R$ или, в виде интервала, $a \in (-\infty; +\infty)$.

Почему?

Это следует из определения арктангенса как функции, обратной к тангенсу.

1. Определение арктангенса. Арктангенсом числа a называется такое число $\alpha$ (представляющее собой угол в радианах) из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен a. Формально: $arctg(a) = \alpha$ тогда и только тогда, когда $tg(\alpha) = a$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

2. Связь с функцией тангенса. Функция $y = arctg(x)$ является обратной к функции $y = tg(x)$. Важным свойством пары взаимно обратных функций является то, что область определения одной функции является областью значений другой, и наоборот.

3. Область значений тангенса. Рассмотрим функцию $y = tg(x)$. Она определена для всех $x$, кроме тех, где $cos(x) = 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для целых $k$. Область значений тангенса — это множество всех чисел, которые может принимать $tg(x)$. Если рассмотреть поведение тангенса на основном промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то при $x$, стремящемся к $\frac{\pi}{2}$ слева, $tg(x)$ стремится к $+\infty$, а при $x$, стремящемся к $-\frac{\pi}{2}$ справа, $tg(x)$ стремится к $-\infty$. Таким образом, функция тангенс на этом интервале принимает все возможные действительные значения. Область значений тангенса: $E(tg) = (-\infty; +\infty)$.

4. Вывод для арктангенса. Поскольку область определения обратной функции ($arctg$) совпадает с областью значений исходной функции ($tg$), то область определения арктангенса — это вся числовая прямая. Это значит, что мы можем найти арктангенс от любого, сколь угодно большого или малого, положительного или отрицательного числа.

Ответ: Число a в выражении $arctg(a)$ может принимать любое действительное значение, то есть $a \in (-\infty; +\infty)$.