Задания, страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите теорему о корне для случая, если $y = f(x)$ — убывающая функция.

Теорема о корне для убывающей функции

Если функция $y = f(x)$ непрерывна и строго убывает на отрезке $[a, b]$, и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то есть $f(a) \cdot f(b) < 0$, то на интервале $(a, b)$ существует единственный корень уравнения $f(x) = 0$.

Доказательство

Доказательство состоит из двух ключевых частей: доказательства существования корня и доказательства его единственности.

1. Существование корня

По условию теоремы, функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом интервале $[a, b]$ и $f(a) \cdot f(b) < 0$. Это означает, что значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки. Эти условия в точности соответствуют условиям теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях.

Согласно этой теореме, если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то она обращается в нуль хотя бы в одной точке внутри этого отрезка. Следовательно, существует как минимум одна точка $c$, принадлежащая интервалу $(a, b)$, для которой выполняется равенство $f(c) = 0$.

Таким образом, существование по крайней мере одного корня доказано.

Замечание: Поскольку функция $f(x)$ убывает, из неравенства $a < b$ следует, что $f(a) > f(b)$. Тогда условие $f(a) \cdot f(b) < 0$ однозначно определяет, что $f(a) > 0$ и $f(b) < 0$.

2. Единственность корня

Теперь докажем, что такой корень может быть только один. Воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что на интервале $(a, b)$ существуют два различных корня уравнения $f(x) = 0$. Обозначим их как $c_1$ и $c_2$. Пусть для определенности $c_1 < c_2$.

По определению корня, мы имеем:

$f(c_1) = 0$

$f(c_2) = 0$

Из этого следует, что $f(c_1) = f(c_2)$.

Однако по условию теоремы функция $f(x)$ является строго убывающей на отрезке $[a, b]$. По определению строго убывающей функции, для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то должно выполняться строгое неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Применив это определение к нашим корням $c_1$ и $c_2$, из того, что $c_1 < c_2$, должно следовать, что $f(c_1) > f(c_2)$.

Но мы получили, что $f(c_1) = f(c_2) = 0$, что привело бы к ложному утверждению $0 > 0$. Мы пришли к противоречию.

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании двух различных корней было неверным. Следовательно, уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного корня на интервале $(a, b)$.

Заключение

Из первой части доказательства мы установили, что существует как минимум один корень. Из второй части мы установили, что существует не более одного корня. Объединяя эти два вывода, мы заключаем, что на интервале $(a, b)$ существует ровно один (единственный) корень уравнения $f(x) = 0$.

Теорема доказана.

Ответ: Доказательство основано на двух положениях. Во-первых, по теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях, для непрерывной функции, принимающей на концах отрезка значения разных знаков, гарантируется существование как минимум одного корня. Во-вторых, свойство строгой убывающей функции (если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$) исключает возможность существования более одного корня, что доказывается методом от противного. Таким образом, при заданных условиях корень существует и он единственный.