Номер 5, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. Сколько видов преобразований нужно применить к графику функции $y=\cos x$, чтобы построить график функции $f(x) = 3 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) - 2$:

A) 2;

B) 3;

C) 4;

D) 5?

Для того чтобы определить количество видов преобразований, необходимых для построения графика функции $f(x) = 3 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) - 2$ из графика функции $y = \cos x$, мы должны привести конечную функцию к виду, который использует ту же тригонометрическую функцию, что и начальная, то есть косинус.

Начальная функция: $y = \cos x$.

Конечная функция: $f(x) = 3 \sin(2x - \frac{\pi}{3}) - 2$.

Используем тригонометрическую формулу приведения, связывающую синус и косинус: $\sin(\alpha) = \cos(\alpha - \frac{\pi}{2})$.

Применим эту формулу к нашей конечной функции, подставив $\alpha = 2x - \frac{\pi}{3}$:

$f(x) = 3 \cos\left(\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{2}\right) - 2$

Теперь упростим выражение в аргументе косинуса, приведя дроби к общему знаменателю:

$2x - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = 2x - \frac{2\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = 2x - \frac{5\pi}{6}$

Таким образом, функция $f(x)$ может быть записана в эквивалентном виде через косинус:

$f(x) = 3 \cos\left(2x - \frac{5\pi}{6}\right) - 2$

Чтобы явно определить все преобразования, представим функцию в стандартном виде $g(x) = A \cos(B(x - C)) + D$. Для этого вынесем коэффициент 2 за скобки в аргументе косинуса:

$f(x) = 3 \cos\left(2\left(x - \frac{5\pi}{12}\right)\right) - 2$

Теперь мы можем сравнить это выражение с исходной функцией $y = \cos x$ и перечислить все примененные виды преобразований, соответствующие параметрам $A, B, C$ и $D$:

1. Вертикальное растяжение. Коэффициент $A = 3$ означает, что график растягивается вдоль оси OY в 3 раза по сравнению с $y=\cos x$.

2. Горизонтальное сжатие. Коэффициент $B = 2$ означает, что график сжимается вдоль оси OX в 2 раза.

3. Горизонтальный сдвиг (фазовый сдвиг). Параметр $C = \frac{5\pi}{12}$ означает, что график сдвигается вправо вдоль оси OX на $\frac{5\pi}{12}$.

4. Вертикальный сдвиг. Параметр $D = -2$ означает, что график сдвигается вниз вдоль оси OY на 2 единицы.

В итоге, для построения графика функции $f(x)$ из графика $y=\cos x$ необходимо применить четыре различных вида преобразований: вертикальное растяжение, горизонтальное сжатие, горизонтальный сдвиг и вертикальный сдвиг. Все четыре вида присутствуют в данном преобразовании.

Ответ: C) 4