Номер 14.26, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.26. Докажите тождество:

1) $\frac{(\sin x + \cos x)^2 - 1}{\text{ctg}x - \sin x \cos x} = 2\text{tg}^2x;$

2) $\frac{(\sin x + \cos x)^2 - 1}{\text{tg}x - \sin x \cos x} = 2\text{ctg}^2x.$

1) Для доказательства тождества $ \frac{(\sin x + \cos x)^2 - 1}{\operatorname{ctg} x - \sin x \cos x} = 2\operatorname{tg}^2 x $ преобразуем его левую часть.

Сначала упростим числитель дроби. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы, и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $:

$ (\sin x + \cos x)^2 - 1 = (\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x) - 1 = (1 + 2\sin x \cos x) - 1 = 2\sin x \cos x $.

Теперь преобразуем знаменатель. Выразим котангенс через синус и косинус ($ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} $):

$ \operatorname{ctg} x - \sin x \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} - \sin x \cos x $.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$ \frac{\cos x - \sin^2 x \cos x}{\sin x} $.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ \cos x $ и снова воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, выразив $ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x $:

$ \frac{\cos x (1 - \sin^2 x)}{\sin x} = \frac{\cos x \cdot \cos^2 x}{\sin x} = \frac{\cos^3 x}{\sin x} $.

Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя в левую часть исходного тождества:

$ \frac{2\sin x \cos x}{\frac{\cos^3 x}{\sin x}} = 2\sin x \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos^3 x} = \frac{2\sin^2 x \cos x}{\cos^3 x} $.

Сократим полученную дробь на $ \cos x $ и используем определение тангенса $ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $:

$ \frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} = 2 \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^2 = 2\operatorname{tg}^2 x $.

Мы получили, что левая часть тождества равна $ 2\operatorname{tg}^2 x $, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $ \frac{(\sin x + \cos x)^2 - 1}{\operatorname{tg} x - \sin x \cos x} = 2\operatorname{ctg}^2 x $ преобразуем его левую часть.

Числитель дроби преобразуется так же, как и в предыдущем пункте:

$ (\sin x + \cos x)^2 - 1 = (\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x) - 1 = (1 + 2\sin x \cos x) - 1 = 2\sin x \cos x $.

Далее преобразуем знаменатель. Выразим тангенс через синус и косинус ($ \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} $):

$ \operatorname{tg} x - \sin x \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x \cos x $.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$ \frac{\sin x - \sin x \cos^2 x}{\cos x} $.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $ \sin x $ и применим основное тригонометрическое тождество, выразив $ 1 - \cos^2 x = \sin^2 x $:

$ \frac{\sin x (1 - \cos^2 x)}{\cos x} = \frac{\sin x \cdot \sin^2 x}{\cos x} = \frac{\sin^3 x}{\cos x} $.

Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя в левую часть исходного тождества:

$ \frac{2\sin x \cos x}{\frac{\sin^3 x}{\cos x}} = 2\sin x \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin^3 x} = \frac{2\sin x \cos^2 x}{\sin^3 x} $.

Сократим полученную дробь на $ \sin x $ и используем определение котангенса $ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} $:

$ \frac{2\cos^2 x}{\sin^2 x} = 2 \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^2 = 2\operatorname{ctg}^2 x $.

Мы получили, что левая часть тождества равна $ 2\operatorname{ctg}^2 x $, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.