Номер 14.25, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.25. Найдите знак выражения:

1)

$sin1 \cdot cos2;$

2)

$sin (-3) \cdot cos2;$

3)

$sin2 \cdot cos6;$

4)

$sin (-4) \cdot cos(-3).$

1) sin1 ⋅ cos2;

Чтобы определить знак выражения, найдем знаки каждого множителя. Так как у углов не указана единица измерения, по умолчанию считаем, что они даны в радианах. Для определения четверти, в которой находится угол, используем приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $.

Границы четвертей на единичной окружности: I ($0; \pi/2$), II ($\pi/2; \pi$), III ($\pi; 3\pi/2$), IV ($3\pi/2; 2\pi$).

В числовом виде: I ($0; \approx 1.57$), II ($\approx 1.57; \approx 3.14$), III ($\approx 3.14; \approx 4.71$), IV ($\approx 4.71; \approx 6.28$).

1. Определим знак $ \sin(1) $. Так как $ 0 < 1 < \pi/2 $ ($0 < 1 < 1.57$), угол в 1 радиан находится в I четверти. Синус в I четверти положителен, следовательно, $ \sin(1) > 0 $.

2. Определим знак $ \cos(2) $. Так как $ \pi/2 < 2 < \pi $ ($1.57 < 2 < 3.14$), угол в 2 радиана находится во II четверти. Косинус во II четверти отрицателен, следовательно, $ \cos(2) < 0 $.

3. Знак произведения. Произведение положительного числа ($ \sin(1) $) и отрицательного ($ \cos(2) $) отрицательно: $ (+) \cdot (-) = (-) $.

Ответ: знак минус.

2) sin(–3) ⋅ cos2;

1. Определим знак $ \sin(-3) $. Функция синуса нечетная, поэтому $ \sin(-3) = -\sin(3) $. Угол в 3 радиана находится во II четверти, так как $ \pi/2 < 3 < \pi $ ($1.57 < 3 < 3.14$). Синус во II четверти положителен, $ \sin(3) > 0 $. Значит, $ \sin(-3) = -\sin(3) < 0 $.

2. Определим знак $ \cos(2) $. Как мы уже выяснили, угол в 2 радиана находится во II четверти, где косинус отрицателен, $ \cos(2) < 0 $.

3. Знак произведения. Произведение двух отрицательных чисел ($ \sin(-3) $ и $ \cos(2) $) положительно: $ (-) \cdot (-) = (+) $.

Ответ: знак плюс.

3) sin2 ⋅ cos6;

1. Определим знак $ \sin(2) $. Угол в 2 радиана находится во II четверти ($ \pi/2 < 2 < \pi $), где синус положителен. Следовательно, $ \sin(2) > 0 $.

2. Определим знак $ \cos(6) $. Угол в 6 радиан находится в IV четверти, так как $ 3\pi/2 < 6 < 2\pi $ ($4.71 < 6 < 6.28$). Косинус в IV четверти положителен. Следовательно, $ \cos(6) > 0 $.

3. Знак произведения. Произведение двух положительных чисел ($ \sin(2) $ и $ \cos(6) $) положительно: $ (+) \cdot (+) = (+) $.

Ответ: знак плюс.

4) sin(–4) ⋅ cos(–3);

1. Определим знак $ \sin(-4) $. Функция синуса нечетная, $ \sin(-4) = -\sin(4) $. Угол в 4 радиана находится в III четверти, так как $ \pi < 4 < 3\pi/2 $ ($3.14 < 4 < 4.71$). Синус в III четверти отрицателен, $ \sin(4) < 0 $. Значит, $ \sin(-4) = -\sin(4) > 0 $.

2. Определим знак $ \cos(-3) $. Функция косинуса четная, $ \cos(-3) = \cos(3) $. Угол в 3 радиана находится во II четверти ($ \pi/2 < 3 < \pi $), где косинус отрицателен. Следовательно, $ \cos(-3) = \cos(3) < 0 $.

3. Знак произведения. Произведение положительного числа ($ \sin(-4) $) и отрицательного ($ \cos(-3) $) отрицательно: $ (+) \cdot (-) = (-) $.

Ответ: знак минус.