Номер 14.19, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*14.19. При каких положительных значениях параметра $p$ функция

$y = -3\cos\left(3x - \frac{\pi}{2}\right):$

1) возрастает на $(p; 2p)$;

2) убывает на $\left[p; p + \frac{\pi}{3}\right]$?

Для решения задачи сначала упростим данную функцию и найдем ее производную, чтобы определить промежутки монотонности.

Исходная функция: $y = -3\cos(3x - \frac{\pi}{2})$.

Используя формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)$, получаем:

$y = -3\sin(3x)$

Теперь найдем производную функции $y(x)$:

$y' = (-3\sin(3x))' = -3 \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = -9\cos(3x)$.

Функция возрастает, когда ее производная $y' > 0$.

$-9\cos(3x) > 0 \implies \cos(3x) < 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится во второй или третьей четверти:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 3x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 3, получаем промежутки возрастания функции:

$x \in (\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда ее производная $y' < 0$.

$-9\cos(3x) < 0 \implies \cos(3x) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится в первой или четвертой четверти:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < 3x < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 3, получаем промежутки убывания функции. Так как функция и ее производная непрерывны, мы можем включить концы промежутков:

$x \in [-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1) возрастает на (p; 2p)

Чтобы функция возрастала на интервале $(p; 2p)$, этот интервал должен полностью содержаться в одном из промежутков возрастания. То есть, для некоторого целого $k$ должно выполняться условие:

$(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}) \le p < 2p \le (\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3})$.

Это эквивалентно системе неравенств: $p \ge \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$ и $2p \le \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$. Из второго неравенства следует $p \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$.

Таким образом, $p$ должен удовлетворять двойному неравенству:

$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \le p \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$.

По условию, $p > 0$. Следовательно, нижняя граница для $p$ должна быть положительной, откуда $ \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} > 0$, что дает $k > -\frac{1}{4}$.

Также, чтобы интервал для $p$ существовал, левая граница не должна превышать правую:

$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3}$, что дает $k \le \frac{1}{4}$.

Единственное целое число $k$, удовлетворяющее условиям $-\frac{1}{4} < k \le \frac{1}{4}$, это $k=0$.

Подставляя $k=0$ в двойное неравенство для $p$, получаем:

$\frac{\pi}{6} \le p \le \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $p \in [\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{4}]$.

2) убывает на $[p; p + \frac{\pi}{3}]$

Чтобы функция убывала на отрезке $[p; p + \frac{\pi}{3}]$, этот отрезок должен полностью содержаться в одном из промежутков убывания. То есть, для некоторого целого $k$ должно выполняться условие:

$-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \le p$ и $p + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.

Из второго неравенства получаем $p \le \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3}$, то есть $p \le -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.

Таким образом, мы имеем два условия: $p \ge -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$ и $p \le -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.

Эта система имеет решение только в том случае, когда $p$ в точности равно этому значению:

$p = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.

По условию $p$ должно быть положительным: $p > 0$.

$-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} > 0 \implies \frac{2\pi k}{3} > \frac{\pi}{6} \implies k > \frac{1}{4}$.

Так как $k$ — целое число, то $k$ может принимать значения $1, 2, 3, \ldots$ (то есть $k \in \mathbb{N}$).

Таким образом, искомые значения $p$ образуют последовательность.

Ответ: $p = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{N}$.