Номер 14.12, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.12. Найдите период функции:

1) $f(x) = 2 + \cos 3x \cdot \sin 3x;$

2) $f(x) = \cos^2 3x - \sin^2 3x;$

3) $f(x) = \text{tg } 3x + \sin x + 3;$

4) $f(x) = \cos^4 x - \sin^4 x + \text{ctg } 0,2x.$

1) Для нахождения периода функции $f(x) = 2 + \cos(3x) \sin(3x)$ преобразуем ее, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, из которой следует, что $\cos(\alpha)\sin(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. Применив эту формулу для $\alpha = 3x$, получим: $f(x) = 2 + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3x) = 2 + \frac{1}{2}\sin(6x)$. Период функции вида $y = A\sin(kx + b) + C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=6$, поэтому основной период $T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

2) Для нахождения периода функции $f(x) = \cos^2(3x) - \sin^2(3x)$ используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$. Применив эту формулу для $\alpha = 3x$, получим: $f(x) = \cos(2 \cdot 3x) = \cos(6x)$. Период функции вида $y = A\cos(kx + b) + C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=6$, поэтому основной период $T = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

3) Функция $f(x) = \text{tg}(3x) + \sin(x) + 3$ является суммой трех функций. Период суммы периодических функций равен наименьшему общему кратному (НОК) их периодов. Найдем периоды для каждого слагаемого.

1. Для функции $g(x) = \text{tg}(3x)$ основной период $T_1 = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{3}$.

2. Для функции $h(x) = \sin(x)$ основной период $T_2 = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$.

3. Константа 3 на период не влияет.

Теперь найдем НОК периодов $T_1 = \frac{\pi}{3}$ и $T_2 = 2\pi$. Наименьшее общее кратное этих значений равно $2\pi$, так как $2\pi$ делится без остатка и на $\frac{\pi}{3}$ (дает 6) и на $2\pi$ (дает 1).

Ответ: $2\pi$

4) Для нахождения периода функции $f(x) = \cos^4(x) - \sin^4(x) + \text{ctg}(0.2x)$ сначала упростим ее.

Выражение $\cos^4(x) - \sin^4(x)$ можно разложить по формуле разности квадратов: $(\cos^2(x) - \sin^2(x))(\cos^2(x) + \sin^2(x))$. Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$, получаем, что $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$.

Таким образом, функция принимает вид $f(x) = \cos(2x) + \text{ctg}(0.2x)$. Теперь найдем периоды слагаемых.

1. Для функции $g(x) = \cos(2x)$ основной период $T_1 = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

2. Для функции $h(x) = \text{ctg}(0.2x)$ основной период $T_2 = \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{0.2} = 5\pi$.

Период исходной функции равен НОК($T_1, T_2$) = НОК($\pi, 5\pi$) = $5\pi$.

Ответ: $5\pi$