Номер 14.6, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.6. Постройте график и запишите числовые промежутки, на которых

принимает неотрицательные значения функция:

1) $f(x) = 2 - \sin x;$

2) $f(x) = \cos \frac{x}{3} - 3;$

3) $f(x) = 2\operatorname{tg} \frac{x}{2};$

4) $f(x) = -\operatorname{ctg} 2x.$

1) $f(x) = 2 - \sin x$

Для построения графика функции $f(x) = 2 - \sin x$ выполним последовательные преобразования графика функции $y = \sin x$.

Сначала строим график функции $y = \sin x$. Затем отражаем его симметрично относительно оси абсцисс, чтобы получить график $y = -\sin x$. Наконец, сдвигаем полученный график на 2 единицы вверх по оси ординат, чтобы получить искомый график $f(x) = 2 - \sin x$. График представляет собой синусоиду, смещенную вверх так, что она колеблется относительно прямой $y=2$. Минимальное значение функции равно $2-1=1$, а максимальное $2-(-1)=3$.

Чтобы найти числовые промежутки, на которых функция принимает неотрицательные значения, решим неравенство $f(x) \ge 0$:

$2 - \sin x \ge 0$

Перенесем $\sin x$ в правую часть:

$\sin x \le 2$

Область значений функции $y=\sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$. Так как любое значение синуса не превосходит 1, оно автоматически будет меньше 2. Следовательно, неравенство $\sin x \le 2$ справедливо для всех действительных чисел $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $f(x) = \cos\frac{x}{3} - 3$

Для построения графика функции $f(x) = \cos\frac{x}{3} - 3$ начнем с графика $y = \cos x$.

Сначала строим график $y = \cos\frac{x}{3}$. Он получается из графика $y = \cos x$ путем его растяжения вдоль оси абсцисс в 3 раза. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$. Затем сдвигаем полученный график на 3 единицы вниз по оси ординат, чтобы получить искомый график $f(x) = \cos\frac{x}{3} - 3$. График колеблется относительно прямой $y=-3$. Минимальное значение функции равно $-1-3=-4$, а максимальное $1-3=-2$.

Чтобы найти числовые промежутки, на которых функция принимает неотрицательные значения, решим неравенство $f(x) \ge 0$:

$\cos\frac{x}{3} - 3 \ge 0$

$\cos\frac{x}{3} \ge 3$

Область значений функции $y=\cos t$ есть отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, значение $\cos\frac{x}{3}$ никогда не может быть больше или равно 3. Таким образом, неравенство не имеет решений.

Ответ: таких промежутков нет (решений нет, $\emptyset$).

3) $f(x) = 2\operatorname{tg}\frac{x}{2}$

Для построения графика функции $f(x) = 2\operatorname{tg}\frac{x}{2}$ начнем с графика $y = \operatorname{tg} x$.

График $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ получается из графика $y = \operatorname{tg} x$ растяжением вдоль оси абсцисс в 2 раза. Период функции становится $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Затем график $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ растягивается в 2 раза вдоль оси ординат, что дает искомый график $f(x) = 2\operatorname{tg}\frac{x}{2}$.

Чтобы найти числовые промежутки, на которых функция принимает неотрицательные значения, решим неравенство $f(x) \ge 0$:

$2\operatorname{tg}\frac{x}{2} \ge 0$

$\operatorname{tg}\frac{x}{2} \ge 0$

Функция тангенса неотрицательна, когда её аргумент $t = \frac{x}{2}$ принадлежит промежуткам $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\pi n \le \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + \pi n$

Умножим все части неравенства на 2:

$2\pi n \le x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[2\pi n, \pi + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) $f(x) = -\operatorname{ctg} 2x$

Для построения графика функции $f(x) = -\operatorname{ctg} 2x$ начнем с графика $y = \operatorname{ctg} x$.

График $y = \operatorname{ctg} 2x$ получается из графика $y = \operatorname{ctg} x$ сжатием вдоль оси абсцисс в 2 раза. Период функции становится $T = \frac{\pi}{2}$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$. Затем график $y = \operatorname{ctg} 2x$ отражается симметрично относительно оси абсцисс, чтобы получить искомый график $f(x) = -\operatorname{ctg} 2x$.

Чтобы найти числовые промежутки, на которых функция принимает неотрицательные значения, решим неравенство $f(x) \ge 0$:

$-\operatorname{ctg} 2x \ge 0$

$\operatorname{ctg} 2x \le 0$

Функция котангенса неположительна, когда её аргумент $t=2x$ принадлежит промежуткам $[\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{2} + \pi n \le 2x < \pi + \pi n$

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $[\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2})$, где $n \in \mathbb{Z}$.