Вопросы, страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какие координаты будут у точки $F_1$, соответствующей точке $F\left(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{2}\right)$, если известно, что она получена в результате растяжения графика функции $y = \cos x$ вдоль оси $Ox$ в 4 раза, сжатия вдоль оси $Oy$ в 3 раза и перемещения вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$ единицы вправо и на $\frac{1}{2}$ единицы вниз вдоль оси $Oy$?

2. Сравните периоды функций $y = 2 \operatorname{tg} \frac{1}{2} x$ и $y = \operatorname{tg} \left(x - \frac{1}{2}\right)$, если они заданы на всей области их определения.

3. Назовите амплитуду, частоту, начальную фазу и период гармонического колебания, заданного формулой $y = 2\sin0.5\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$.

1. Пусть начальные координаты точки $F$ равны $(x_0, y_0) = (\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2})$. Выполним последовательно все преобразования координат, чтобы найти координаты новой точки $F_1(x_1, y_1)$.

1. Растяжение вдоль оси $Ox$ в 4 раза: абсцисса точки умножается на 4. Промежуточная абсцисса: $x' = 4 \cdot x_0 = 4 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

2. Сжатие вдоль оси $Oy$ в 3 раза: ордината точки делится на 3. Промежуточная ордината: $y' = \frac{y_0}{3} = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$.

3. Перемещение вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$ единицы вправо: к промежуточной абсциссе прибавляется $\frac{\pi}{3}$. Финальная абсцисса: $x_1 = x' + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

4. Перемещение вдоль оси $Oy$ на $\frac{1}{2}$ единицы вниз: из промежуточной ординаты вычитается $\frac{1}{2}$. Финальная ордината: $y_1 = y' - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Таким образом, итоговые координаты точки $F_1$ равны $(\frac{5\pi}{3}, -\frac{1}{3})$.

Ответ: $F_1(\frac{5\pi}{3}, -\frac{1}{3})$.

2. Период функции вида $y = A \operatorname{tg}(kx + b) + c$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0 = \pi$ — основной период функции $y=\operatorname{tg}x$.

Для функции $y = 2 \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ коэффициент при $x$ равен $k_1 = \frac{1}{2}$. Её период $T_1 = \frac{\pi}{|1/2|} = 2\pi$.

Для функции $y = \operatorname{tg}(x - \frac{1}{2})$ коэффициент при $x$ равен $k_2 = 1$. Её период $T_2 = \frac{\pi}{|1|} = \pi$.

Сравнивая периоды $T_1 = 2\pi$ и $T_2 = \pi$, видим, что $T_1 = 2T_2$.

Ответ: Период функции $y = 2 \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ равен $2\pi$, а период функции $y = \operatorname{tg}(x - \frac{1}{2})$ равен $\pi$. Период первой функции в два раза больше периода второй.

3. Рассмотрим уравнение гармонического колебания $y = 2\sin(0,5(x - \frac{\pi}{6}))$. Для определения его параметров приведем уравнение к стандартному виду $y = A\sin(\omega x + \varphi)$, раскрыв скобки в аргументе: $y = 2\sin(0,5x - \frac{\pi}{12})$.

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия, равное модулю коэффициента $A$ перед синусом. В данном случае $A=2$.

Частота — это циклическая (угловая) частота $\omega$, равная коэффициенту при переменной $x$ в аргументе синуса. В данном случае $\omega=0,5$.

Начальная фаза — это фаза колебания при $x=0$, равная слагаемому $\varphi$ в аргументе. В данном случае $\varphi = -\frac{\pi}{12}$.

Период — это наименьший положительный период функции $T$, связанный с частотой формулой $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$. В данном случае $T = \frac{2\pi}{0,5} = 4\pi$.

Ответ: Амплитуда: $2$; частота: $0,5$; начальная фаза: $-\frac{\pi}{12}$; период: $4\pi$.