Номер 13.18, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*13.18. Найдите число корней уравнения:

1) $2x - 3 = \operatorname{ctg}0.4x;$

2) $x^2 - 2x = \operatorname{tg}0.2x.$

1) $2x - 3 = \ctg(0,4x)$

Для нахождения числа корней уравнения воспользуемся графическим методом. Рассмотрим две функции: $y_1 = 2x - 3$ и $y_2 = \ctg(0,4x)$. Число корней уравнения равно числу точек пересечения графиков этих функций.

1. Функция $y_1 = 2x - 3$ — это прямая линия. Она является возрастающей на всей числовой оси, так как её угловой коэффициент равен 2 (больше нуля).

2. Функция $y_2 = \ctg(0,4x)$ — это котангенсоида.

Область определения этой функции: $0,4x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x \neq \frac{\pi k}{0,4}$, то есть $x \neq \frac{5\pi k}{2}$. В этих точках находятся вертикальные асимптоты графика.

Период функции $T = \frac{\pi}{0,4} = \frac{5\pi}{2}$.

На каждом интервале своей области определения, $(\frac{5\pi k}{2}; \frac{5\pi(k+1)}{2})$, функция $y_2 = \ctg(0,4x)$ является непрерывной и строго убывающей, а её область значений — вся числовая прямая, то есть $(-\infty; +\infty)$.

3. Рассмотрим любой такой интервал $(\frac{5\pi k}{2}; \frac{5\pi(k+1)}{2})$, где $k$ — любое целое число.

На этом интервале функция $y_1 = 2x - 3$ непрерывна и возрастает.

Функция $y_2 = \ctg(0,4x)$ непрерывна и убывает.

На границах интервала имеем:

$\lim_{x \to (\frac{5\pi k}{2})^+} \ctg(0,4x) = +\infty$

$\lim_{x \to (\frac{5\pi(k+1)}{2})^-} \ctg(0,4x) = -\infty$

Поскольку возрастающая функция $y_1(x)$ и убывающая функция $y_2(x)$, область значений которой на данном интервале $(-\infty; +\infty)$, пересекаются ровно один раз.

Иначе говоря, рассмотрим разность функций $f(x) = 2x - 3 - \ctg(0,4x)$. На интервале $(\frac{5\pi k}{2}; \frac{5\pi(k+1)}{2})$ функция $f(x)$ непрерывна и строго возрастает, так как её производная $f'(x) = 2 - (-\frac{0,4}{\sin^2(0,4x)}) = 2 + \frac{0,4}{\sin^2(0,4x)} > 2$.

При $x$, стремящемся к левой границе интервала, $f(x) \to (5\pi k - 3) - (+\infty) = -\infty$.

При $x$, стремящемся к правой границе интервала, $f(x) \to (5\pi(k+1) - 3) - (-\infty) = +\infty$.

Так как непрерывная функция $f(x)$ меняет знак с минуса на плюс на данном интервале, она имеет на нем ровно один корень.

Поскольку таких интервалов бесконечно много (для каждого целого $k$), то и число корней уравнения бесконечно.

Ответ: бесконечно много.

2) $x^2 - 2x = \tg(0,2x)$

Для нахождения числа корней уравнения также воспользуемся графическим методом. Рассмотрим функции $y_1 = x^2 - 2x$ и $y_2 = \tg(0,2x)$.

1. Функция $y_1 = x^2 - 2x$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$. Координаты вершины: $(1, (1)^2-2(1)) = (1, -1)$. Минимальное значение функции равно -1.

2. Функция $y_2 = \tg(0,2x)$ — это тангенсоида.

Область определения: $0,2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x \neq \frac{\pi/2 + \pi k}{0,2}$, то есть $x \neq \frac{5\pi}{2} + 5\pi k$. В этих точках находятся вертикальные асимптоты.

Период функции $T = \frac{\pi}{0,2} = 5\pi$.

На каждом интервале своей области определения, $(\frac{5\pi}{2} + 5\pi k; \frac{5\pi}{2} + 5\pi(k+1))$, функция $y_2 = \tg(0,2x)$ является непрерывной и строго возрастающей, а её область значений — $(-\infty; +\infty)$.

3. Проверим наличие очевидных корней. При $x=0$:

$y_1(0) = 0^2 - 2(0) = 0$.

$y_2(0) = \tg(0) = 0$.

Следовательно, $x=0$ является одним из корней уравнения.

4. Рассмотрим другие интервалы.

Случай $x > 0$:

Рассмотрим интервалы вида $(\frac{5\pi}{2} + 5\pi(k-1); \frac{5\pi}{2} + 5\pi k)$ для $k \ge 1$. Внутри каждого такого интервала тангенс принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$. Парабола $y_1 = x^2 - 2x$ при $x>2$ положительна и возрастает.

На каждом таком интервале тангенс возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Парабола также возрастает (так как $x>1$). Поскольку область значений тангенса на интервале — вся числовая прямая, а парабола принимает конечные значения, их графики обязательно пересекутся.

Более строго: рассмотрим интервал $(5\pi k, \frac{5\pi}{2} + 5\pi k)$ для $k \ge 1$. На этом интервале $\tg(0,2x) \ge 0$.

При $x = 5\pi k$: $y_1 = (5\pi k)^2 - 10\pi k > 0$ (для $k \ge 1$), а $y_2 = \tg(\pi k) = 0$. Значит, $y_1 > y_2$.

При $x \to (\frac{5\pi}{2} + 5\pi k)^-$, значение $y_1$ конечно, а $y_2 \to +\infty$. Значит, $y_1 < y_2$.

Поскольку на интервале $(5\pi k, \frac{5\pi}{2} + 5\pi k)$ обе функции непрерывны, и разность $y_1 - y_2$ меняет знак, на этом интервале есть хотя бы один корень. Так как таких интервалов бесконечно много (для $k=1, 2, 3, ...$), существует бесконечно много положительных корней.

Случай $x < 0$:

Рассмотрим интервалы вида $(\frac{5\pi}{2} + 5\pi k; \frac{5\pi}{2} + 5\pi(k+1))$ для $k \le -1$.

Например, при $k=-1$ интервал будет $(-\frac{15\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2})$.

В этом интервале функция $y_1 = x^2 - 2x$ положительна и убывает (т.к. $x<1$).

Функция $y_2 = \tg(0,2x)$ возрастает.

На подинтервале $(-5\pi, -\frac{5\pi}{2})$ тангенс положителен (угол в III четверти) и возрастает от $0$ до $+\infty$.

При $x = -5\pi$: $y_1 = (-5\pi)^2 - 2(-5\pi) = 25\pi^2 + 10\pi > 0$, а $y_2 = \tg(-\pi) = 0$. Значит, $y_1 > y_2$.

При $x \to (-\frac{5\pi}{2})^-$, значение $y_1$ конечно, а $y_2 \to +\infty$. Значит, $y_1 < y_2$.

Убывающая функция $y_1$ и возрастающая функция $y_2$ пересекаются на этом интервале ровно один раз.

Такой анализ можно провести для каждого $k \le -1$, и в каждом таком периоде будет найден ровно один корень. Следовательно, существует бесконечно много отрицательных корней.

Таким образом, уравнение имеет один корень $x=0$, бесконечно много положительных корней и бесконечно много отрицательных корней.

Ответ: бесконечно много.