Номер 13.14, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.14. Постройте согласно алгоритму график функции:

1) $y = 2\text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $y = 2 + \text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$.

1) Для построения графика функции $y = 2\tg(x - \frac{\pi}{4})$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \tg(x)$.

Шаг 1: Построение графика $y_1 = \tg(x)$.

Начнем с графика функции тангенса. Это периодическая функция с периодом $T = \pi$. Вертикальные асимптоты расположены в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. График проходит через начало координат $(0, 0)$ и является возрастающим на каждом из интервалов области определения.

Шаг 2: Построение графика $y_2 = \tg(x - \frac{\pi}{4})$.

Этот график получается путем сдвига (параллельного переноса) графика $y_1 = \tg(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси $Ox$.

Вследствие сдвига, вертикальные асимптоты смещаются в точки $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Нули функции (точки пересечения с осью $Ox$) также смещаются и теперь находятся в точках $x = 0 + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3: Построение графика $y = 2\tg(x - \frac{\pi}{4})$.

Итоговый график получается путем растяжения графика $y_2 = \tg(x - \frac{\pi}{4})$ от оси $Ox$ в 2 раза (вдоль оси $Oy$). Это значит, что ордината каждой точки графика умножается на 2. Растяжение не влияет на положение асимптот и нулей функции. Однако, например, точка графика, где $x = \frac{\pi}{2}$, будет иметь ординату $y = 2\tg(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = 2\tg(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: График функции $y = 2\tg(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика $y = \tg(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{4}$ вправо по оси абсцисс и последующим растяжением в 2 раза вдоль оси ординат.

2) Для построения графика функции $y = 2 + \ctg(x - \frac{\pi}{4})$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y = \ctg(x)$.

Шаг 1: Построение графика $y_1 = \ctg(x)$.

Начнем с графика функции котангенса. Это периодическая функция с периодом $T = \pi$. Вертикальные асимптоты расположены в точках $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Нули функции находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2: Построение графика $y_2 = \ctg(x - \frac{\pi}{4})$.

Этот график получается путем сдвига графика $y_1 = \ctg(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси $Ox$.

Вертикальные асимптоты смещаются в точки $x = \pi n + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Нули функции смещаются в точки $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3: Построение графика $y = 2 + \ctg(x - \frac{\pi}{4})$.

Итоговый график получается путем сдвига графика $y_2 = \ctg(x - \frac{\pi}{4})$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Вертикальные асимптоты остаются прежними: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Все точки графика смещаются вверх на 2. Точки, которые ранее были нулями функции $y_2$ (с ординатой 0), теперь лежат на прямой $y=2$. Таким образом, график проходит через точки с координатами $(\frac{3\pi}{4} + \pi n, 2)$.

Ответ: График функции $y = 2 + \ctg(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика $y = \ctg(x)$ сдвигом на $\frac{\pi}{4}$ вправо по оси абсцисс и последующим сдвигом на 2 единицы вверх по оси ординат.

3) Для построения графика функции $y = \tg(2x - \frac{\pi}{3})$ представим ее в виде $y = \tg(2(x - \frac{\pi}{6}))$. Построение будем вести путем преобразований графика базовой функции $y = \tg(x)$.

Шаг 1: Построение графика $y_1 = \tg(x)$.

Базовый график тангенса с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2: Построение графика $y_2 = \tg(2x)$.

Этот график получается путем сжатия графика $y_1 = \tg(x)$ к оси $Oy$ в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза: $T = \frac{\pi}{2}$.

Вертикальные асимптоты теперь находятся из условия $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Нули функции находятся из условия $2x = \pi n$, то есть $x = \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3: Построение графика $y = \tg(2(x - \frac{\pi}{6}))$.

Итоговый график получается путем сдвига графика $y_2 = \tg(2x)$ на $\frac{\pi}{6}$ вправо вдоль оси $Ox$.

Вертикальные асимптоты смещаются и находятся в точках $x = (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}) + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi+2\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Нули функции также смещаются и находятся в точках $x = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \tg(2x - \frac{\pi}{3})$ получается из графика $y = \tg(x)$ сжатием в 2 раза к оси ординат и последующим сдвигом на $\frac{\pi}{6}$ вправо по оси абсцисс.