Номер 13.11, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.11. Начертите единичную окружность. На линии тангенсов отметьте точку $M$, тангенс от значения ординаты которой равен $p$. Через эту точку и начало координат проведите луч $OM$. Найдите точки пересечения линии тангенсов и луча $OM$. На чертеже отметьте угол, тангенс которого равен $p$, если:

1) $p = 3\frac{3}{4}$;

2) $p = 2,5$;

3) $p = -1$;

4) $p = -\frac{3}{4}$.

Для решения задачи воспользуемся определением тангенса через единичную окружность. Линия тангенсов — это вертикальная прямая, заданная уравнением $x=1$. Точка $M$ на этой линии, через которую проходит луч из начала координат под углом $\alpha$ к положительному направлению оси $Ox$, имеет ординату (координату $y$), равную $\tan(\alpha)$.

Таким образом, для каждого заданного значения $p$, мы должны найти на линии тангенсов точку $M$ с ординатой $p$. Координаты этой точки будут $(1; p)$. Луч $OM$, проведенный из начала координат $O(0;0)$ через точку $M(1;p)$, и будет образовывать с положительным направлением оси $Ox$ угол $\alpha$, тангенс которого равен $p$. Точкой пересечения луча $OM$ и линии тангенсов является сама точка $M$.

1) $p = 3\frac{3}{4}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в десятичную: $p = 3\frac{3}{4} = 3,75$.Начертим единичную окружность и линию тангенсов $x=1$. На линии тангенсов отметим точку $M$ с ординатой $3,75$. Координаты точки $M$ будут $(1; 3,75)$.Проведем луч $OM$ из начала координат через точку $M(1; 3,75)$. Этот луч пересекает линию тангенсов в точке $M$.Отметим угол $\alpha$, который образует луч $OM$ с положительным направлением оси $Ox$. Так как ордината точки $M$ положительна, угол $\alpha$ находится в первой координатной четверти. Для этого угла $\tan(\alpha) = 3,75$.

Ответ: Точка пересечения $M$ имеет координаты $(1; 3,75)$.

2) $p = 2,5$

Начертим единичную окружность и линию тангенсов $x=1$. На линии тангенсов отметим точку $M$ с ординатой $2,5$. Координаты точки $M$ будут $(1; 2,5)$.Проведем луч $OM$ из начала координат через точку $M(1; 2,5)$. Точка пересечения луча и линии тангенсов — это $M$.Отметим угол $\alpha$, который образует луч $OM$ с положительным направлением оси $Ox$. Так как ордината точки $M$ положительна, угол $\alpha$ находится в первой координатной четверти. Для этого угла $\tan(\alpha) = 2,5$.

Ответ: Точка пересечения $M$ имеет координаты $(1; 2,5)$.

3) $p = -1$

Начертим единичную окружность и линию тангенсов $x=1$. На линии тангенсов отметим точку $M$ с ординатой $-1$. Координаты точки $M$ будут $(1; -1)$.Проведем луч $OM$ из начала координат через точку $M(1; -1)$. Точка пересечения луча и линии тангенсов — это $M$.Отметим угол $\alpha$, который образует луч $OM$ с положительным направлением оси $Ox$. Так как ордината точки $M$ отрицательна, угол $\alpha$ находится в четвертой координатной четверти. Для этого угла $\tan(\alpha) = -1$. (Этот угол равен $-45^\circ$ или $-\frac{\pi}{4}$ радиан).

Ответ: Точка пересечения $M$ имеет координаты $(1; -1)$.

4) $p = -\frac{3}{4}$

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $p = -\frac{3}{4} = -0,75$.Начертим единичную окружность и линию тангенсов $x=1$. На линии тангенсов отметим точку $M$ с ординатой $-0,75$. Координаты точки $M$ будут $(1; -0,75)$.Проведем луч $OM$ из начала координат через точку $M(1; -0,75)$. Точка пересечения луча и линии тангенсов — это $M$.Отметим угол $\alpha$, который образует луч $OM$ с положительным направлением оси $Ox$. Так как ордината точки $M$ отрицательна, угол $\alpha$ находится в четвертой координатной четверти. Для этого угла $\tan(\alpha) = -0,75$.

Ответ: Точка пересечения $M$ имеет координаты $(1; -0,75)$.