Номер 13.16, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.16. Используя преобразования, постройте график и найдите промежутки возрастания функции:

1) $y = 1 + \text{tg} \left( 2x + \frac{2\pi}{3} \right)$;

2) $y = 2\text{ctg} (3x - 4) - 1$;

3) $y = -2\text{tg} \left( 4x + \frac{4\pi}{3} \right)$.

1) Рассматриваем функцию $y = 1 + \text{tg}(2x + \frac{2\pi}{3})$.

Для построения графика этой функции выполним последовательность преобразований, исходя из базового графика $y = \text{tg}(x)$.

Сначала преобразуем выражение в скобках: $2x + \frac{2\pi}{3} = 2(x + \frac{\pi}{3})$.

Последовательность преобразований:

1. $y = \text{tg}(x) \rightarrow y = \text{tg}(2x)$: Сжатие графика вдоль оси Ox в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{\pi}{2}$.

2. $y = \text{tg}(2x) \rightarrow y = \text{tg}(2(x + \frac{\pi}{3}))$: Сдвиг графика влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

3. $y = \text{tg}(2(x + \frac{\pi}{3})) \rightarrow y = 1 + \text{tg}(2(x + \frac{\pi}{3}))$: Сдвиг графика вверх вдоль оси Oy на 1.

Теперь найдем промежутки возрастания. Функция $y = \text{tg}(t)$ возрастает на всей своей области определения. Так как коэффициент при $x$ (равен 2) и коэффициент перед тангенсом (равен 1) положительны, итоговая функция также будет возрастать на всей своей области определения. Промежутки возрастания совпадают с интервалами области определения функции.

Найдем область определения из условия, что аргумент тангенса не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

$2x + \frac{2\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$

$2x \neq \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} + \pi n$

$2x \neq \frac{3\pi - 4\pi}{6} + \pi n$

$2x \neq -\frac{\pi}{6} + \pi n$

$x \neq -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

Это уравнения вертикальных асимптот. Функция возрастает на интервалах между асимптотами. Чтобы найти эти интервалы, решим неравенство для основного промежутка возрастания тангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$:

$-\frac{\pi}{2} < 2x + \frac{2\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$

$-\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} < 2x < \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}$

$-\frac{7\pi}{6} < 2x < -\frac{\pi}{6}$

$-\frac{7\pi}{12} < x < -\frac{\pi}{12}$

Учитывая периодичность функции с периодом $T = \frac{\pi}{2}$, все промежутки возрастания описываются формулой:

$(-\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}), n \in Z$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $(-\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2})$, где $n \in Z$.

2) Рассматриваем функцию $y = 2\text{ctg}(3x - 4) - 1$.

График этой функции можно получить из графика $y = \text{ctg}(x)$ следующими преобразованиями:

1. $y = \text{ctg}(x) \rightarrow y = \text{ctg}(3x)$: Сжатие графика вдоль оси Ox в 3 раза. Период становится $T = \frac{\pi}{3}$.

2. $y = \text{ctg}(3x) \rightarrow y = \text{ctg}(3(x - \frac{4}{3}))$: Сдвиг графика вправо вдоль оси Ox на $\frac{4}{3}$.

3. $y = \text{ctg}(3(x - \frac{4}{3})) \rightarrow y = 2\text{ctg}(3(x - \frac{4}{3}))$: Растяжение графика вдоль оси Oy в 2 раза.

4. $y = 2\text{ctg}(3(x - \frac{4}{3})) \rightarrow y = 2\text{ctg}(3(x - \frac{4}{3})) - 1$: Сдвиг графика вниз вдоль оси Oy на 1.

Функция $y = \text{ctg}(t)$ является убывающей на всей своей области определения. Преобразования сдвига, сжатия по оси Ox и растяжения по оси Oy с положительным коэффициентом (2) не меняют характер монотонности функции. Следовательно, данная функция $y = 2\text{ctg}(3x - 4) - 1$ убывает на каждом интервале своей области определения.

Для проверки найдем производную функции:

$y' = (2\text{ctg}(3x - 4) - 1)' = 2 \cdot (-\frac{1}{\sin^2(3x - 4)}) \cdot (3x - 4)' = -\frac{6}{\sin^2(3x-4)}$

Поскольку $\sin^2(3x-4) > 0$ для всех $x$ из области определения функции, то $y' < 0$. Это подтверждает, что функция является строго убывающей на всей своей области определения.

Таким образом, у данной функции нет промежутков возрастания.

Ответ: промежутков возрастания нет.

3) Рассматриваем функцию $y = -2\text{tg}(4x + \frac{4\pi}{3})$.

График этой функции можно получить из графика $y = \text{tg}(x)$ следующими преобразованиями:

1. $y = \text{tg}(x) \rightarrow y = \text{tg}(4x)$: Сжатие графика вдоль оси Ox в 4 раза. Период становится $T = \frac{\pi}{4}$.

2. $y = \text{tg}(4x) \rightarrow y = \text{tg}(4(x + \frac{\pi}{3}))$: Сдвиг графика влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

3. $y = \text{tg}(4(x + \frac{\pi}{3})) \rightarrow y = -\text{tg}(4(x + \frac{\pi}{3}))$: Симметричное отражение графика относительно оси Ox.

4. $y = -\text{tg}(4(x + \frac{\pi}{3})) \rightarrow y = -2\text{tg}(4(x + \frac{\pi}{3}))$: Растяжение графика вдоль оси Oy в 2 раза.

Функция $y = \text{tg}(t)$ является возрастающей. Однако из-за умножения на отрицательный коэффициент (-2), характер монотонности меняется на противоположный. Следовательно, функция $y = -2\text{tg}(4x + \frac{4\pi}{3})$ является убывающей на каждом интервале своей области определения.

Для проверки найдем производную функции:

$y' = (-2\text{tg}(4x + \frac{4\pi}{3}))' = -2 \cdot \frac{1}{\cos^2(4x + \frac{4\pi}{3})} \cdot (4x + \frac{4\pi}{3})' = -\frac{8}{\cos^2(4x + \frac{4\pi}{3})}$

Поскольку $\cos^2(4x + \frac{4\pi}{3}) > 0$ для всех $x$ из области определения функции, то $y' < 0$. Это подтверждает, что функция является строго убывающей на всей своей области определения.

Таким образом, у данной функции нет промежутков возрастания.

Ответ: промежутков возрастания нет.