Номер 13.20, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.20. Найдите значение тригонометрического выражения:

1)

$\frac{-\sin\left(\frac{3\pi}{20}\right) \cdot \cos\left(\frac{21\pi}{10}\right) - \cos\left(\frac{3\pi}{20}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{10}\right)}{\cos\left(\frac{7\pi}{24}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \sin\left(\frac{7\pi}{24}\right)};$

2)

$\frac{3\sin\left(\frac{15\pi}{7}\right) \cdot \sin\left(\frac{4\pi}{21}\right) + 3\cos\left(\frac{4\pi}{21}\right) \cdot \cos\left(\frac{6\pi}{7}\right)}{-\sin\left(\frac{7\pi}{24}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{24}\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{24}\right) \cdot \sin\left(\frac{23\pi}{24}\right)}.$

1) Для того чтобы найти значение выражения $ \frac{-\sin\frac{3\pi}{20} \cos\frac{21\pi}{10} - \cos\frac{3\pi}{20} \sin\frac{\pi}{10}}{\cos\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{7\pi}{8} \sin\frac{7\pi}{24}} $, упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Сначала рассмотрим числитель: $ -\sin\frac{3\pi}{20} \cos\frac{21\pi}{10} - \cos\frac{3\pi}{20} \sin\frac{\pi}{10} $.

Вынесем знак минус за скобки: $ -(\sin\frac{3\pi}{20} \cos\frac{21\pi}{10} + \cos\frac{3\pi}{20} \sin\frac{\pi}{10}) $.

Используем формулу приведения для $ \cos\frac{21\pi}{10} $: $ \cos\frac{21\pi}{10} = \cos(\frac{20\pi + \pi}{10}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{10}) = \cos\frac{\pi}{10} $.

Подставим полученное значение в выражение для числителя:

$ -(\sin\frac{3\pi}{20} \cos\frac{\pi}{10} + \cos\frac{3\pi}{20} \sin\frac{\pi}{10}) $.

Это выражение соответствует формуле синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $, взятой с противоположным знаком. Здесь $ \alpha = \frac{3\pi}{20} $ и $ \beta = \frac{\pi}{10} $.

Таким образом, числитель равен $ -\sin(\frac{3\pi}{20} + \frac{\pi}{10}) $.

Найдем сумму углов: $ \frac{3\pi}{20} + \frac{\pi}{10} = \frac{3\pi}{20} + \frac{2\pi}{20} = \frac{5\pi}{20} = \frac{\pi}{4} $.

Значение числителя: $ -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь рассмотрим знаменатель: $ \cos\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{7\pi}{8} \sin\frac{7\pi}{24} $.

Используем формулу приведения для $ \sin\frac{7\pi}{8} $: $ \sin\frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin\frac{\pi}{8} $.

Подставим полученное значение в выражение для знаменателя:

$ \cos\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{\pi}{8} \sin\frac{7\pi}{24} $.

Переставим множители во втором слагаемом: $ \cos\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{8} + \sin\frac{7\pi}{24} \sin\frac{\pi}{8} $.

Это выражение соответствует формуле косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $. Здесь $ \alpha = \frac{7\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{\pi}{8} $.

Таким образом, знаменатель равен $ \cos(\frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{8}) $.

Найдем разность углов: $ \frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{8} = \frac{7\pi}{24} - \frac{3\pi}{24} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6} $.

Значение знаменателя: $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Теперь найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$ \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{6}}{3} $.

2) Для того чтобы найти значение выражения $ \frac{3\sin\frac{15\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{21} + 3\cos\frac{4\pi}{21} \cos\frac{6\pi}{7}}{-\sin\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} + \cos\frac{7\pi}{24} \sin\frac{23\pi}{24}} $, упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Сначала рассмотрим числитель: $ 3\sin\frac{15\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{21} + 3\cos\frac{4\pi}{21} \cos\frac{6\pi}{7} $.

Вынесем общий множитель 3 и переставим слагаемые: $ 3(\cos\frac{6\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{21} + \sin\frac{15\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{21}) $.

Используем формулы приведения. Для $ \sin\frac{15\pi}{7} $: $ \sin\frac{15\pi}{7} = \sin(2\pi + \frac{\pi}{7}) = \sin\frac{\pi}{7} $.

Также, $ \sin\frac{6\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{\pi}{7}) = \sin\frac{\pi}{7} $.

Следовательно, $ \sin\frac{15\pi}{7} = \sin\frac{6\pi}{7} $.

Подставим это в выражение для числителя: $ 3(\cos\frac{6\pi}{7} \cos\frac{4\pi}{21} + \sin\frac{6\pi}{7} \sin\frac{4\pi}{21}) $.

Это выражение соответствует формуле косинуса разности $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $. Здесь $ \alpha = \frac{6\pi}{7} $ и $ \beta = \frac{4\pi}{21} $.

Выражение в скобках равно $ \cos(\frac{6\pi}{7} - \frac{4\pi}{21}) $.

Найдем разность углов: $ \frac{6\pi}{7} - \frac{4\pi}{21} = \frac{18\pi}{21} - \frac{4\pi}{21} = \frac{14\pi}{21} = \frac{2\pi}{3} $.

Значение числителя: $ 3\cos(\frac{2\pi}{3}) = 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} $.

Теперь рассмотрим знаменатель: $ -\sin\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} + \cos\frac{7\pi}{24} \sin\frac{23\pi}{24} $.

Используем формулу приведения для $ \sin\frac{23\pi}{24} $: $ \sin\frac{23\pi}{24} = \sin(\pi - \frac{\pi}{24}) = \sin\frac{\pi}{24} $.

Подставим полученное значение в выражение для знаменателя: $ -\sin\frac{7\pi}{24} \cos\frac{\pi}{24} + \cos\frac{7\pi}{24} \sin\frac{\pi}{24} $.

Переставим слагаемые: $ \sin\frac{\pi}{24} \cos\frac{7\pi}{24} - \cos\frac{\pi}{24} \sin\frac{7\pi}{24} $.

Это выражение соответствует формуле синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta $. Здесь $ \alpha = \frac{\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{7\pi}{24} $.

Знаменатель равен $ \sin(\frac{\pi}{24} - \frac{7\pi}{24}) = \sin(-\frac{6\pi}{24}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) $.

Поскольку синус — нечетная функция, $ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Теперь найдем значение всего выражения, разделив числитель на знаменатель:

$ \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{2}}{2} $.