Номер 14.3, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.3. Постройте график функции:

1) $y = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 3;$

2) $y = -\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 2;$

3) $y = 2\text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right).$

1) $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 3$

Построение графика функции осуществляется путем последовательных преобразований графика базовой функции $y = \cos(x)$.

Шаг 1: Строим график $y = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

Шаг 2: Сдвигаем график $y = \cos(x)$ на $\frac{\pi}{3}$ влево по оси $Ox$. Получаем график функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$.

Шаг 3: Растягиваем полученный график от оси $Ox$ в 2 раза, то есть умножаем каждую ординату на 2. Получаем график функции $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3})$. Амплитуда колебаний становится равной 2.

Шаг 4: Сдвигаем последний график на 3 единицы вниз по оси $Oy$. Получаем искомый график функции $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 3$.

В результате этих преобразований косинусоида колеблется относительно прямой $y = -3$. Максимальное значение функции равно $-3 + 2 = -1$, а минимальное $-3 - 2 = -5$. Ключевые точки для одного периода: максимум в точке $(-\frac{\pi}{3}, -1)$, минимум в точке $(\frac{2\pi}{3}, -5)$.

Ответ: График функции $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{3}) - 3$ — это косинусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 2, смещенная по фазе на $\frac{\pi}{3}$ влево и по вертикали на 3 единицы вниз. Область значений функции: $[-5, -1]$.

2) $y = -\sin(x - \frac{\pi}{4}) + 2$

Построение графика этой функции выполним путем последовательных преобразований, начиная с базовой функции $y = \sin(x)$.

Шаг 1: Строим график $y = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

Шаг 2: Сдвигаем график $y = \sin(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо по оси $Ox$. Получаем график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{4})$.

Шаг 3: Отражаем полученный график симметрично относительно оси $Ox$. Это соответствует умножению функции на -1. Получаем график функции $y = -\sin(x - \frac{\pi}{4})$.

Шаг 4: Сдвигаем последний график на 2 единицы вверх по оси $Oy$. Получаем искомый график функции $y = -\sin(x - \frac{\pi}{4}) + 2$.

В результате этих преобразований синусоида колеблется относительно прямой $y = 2$. Амплитуда колебаний равна 1. Максимальное значение функции равно $2 + 1 = 3$, а минимальное $2 - 1 = 1$. Ключевые точки для одного периода: график проходит через точку $(\frac{\pi}{4}, 2)$, достигает минимума в точке $(\frac{3\pi}{4}, 1)$, затем максимума в точке $(\frac{7\pi}{4}, 3)$.

Ответ: График функции $y = -\sin(x - \frac{\pi}{4}) + 2$ — это синусоида, отраженная относительно оси абсцисс, с периодом $2\pi$, амплитудой 1, смещенная по фазе на $\frac{\pi}{4}$ вправо и по вертикали на 2 единицы вверх. Область значений функции: $[1, 3]$.

3) $y = 2\ctg(x + \frac{\pi}{4})$

Построение графика функции осуществляется путем преобразований графика базовой функции $y = \ctg(x)$.

Шаг 1: Строим график $y = \ctg(x)$. Это котангенсоида с периодом $\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = k\pi$, где $k$ — целое число.

Шаг 2: Сдвигаем график $y = \ctg(x)$ на $\frac{\pi}{4}$ влево по оси $Ox$. Получаем график функции $y = \ctg(x + \frac{\pi}{4})$. Вертикальные асимптоты также сдвигаются влево и теперь находятся в точках $x = k\pi - \frac{\pi}{4}$. Нули функции смещаются в точки $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.

Шаг 3: Растягиваем полученный график от оси $Ox$ в 2 раза. Получаем искомый график функции $y = 2\ctg(x + \frac{\pi}{4})$. Это означает, что значение y в каждой точке графика умножается на 2. Растяжение не влияет на положение асимптот и нулей функции.

Ключевые точки для одной ветви графика, например, между асимптотами $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$: нуль функции находится в точке $(\frac{\pi}{4}, 0)$. График проходит через точки $(0, 2)$ и $(\frac{\pi}{2}, -2)$.

Ответ: График функции $y = 2\ctg(x + \frac{\pi}{4})$ — это котангенсоида с периодом $\pi$, смещенная на $\frac{\pi}{4}$ влево и растянутая по вертикали в 2 раза. Вертикальные асимптоты графика задаются уравнением $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Нули функции находятся в точках $x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.