Номер 13.22, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.22. Докажите тождество:

1) $ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) - 2\cos\alpha \cos\beta = 0; $

2) $ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) - 2\sin\alpha \cos\beta = 0; $

3) $ \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta; $

4) $ \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta. $

1) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя формулы косинуса суммы и косинуса разности:

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) - 2\cos\alpha \cos\beta = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta) + (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) - 2\cos\alpha \cos\beta$

Сгруппируем и сократим подобные слагаемые:

$\cos\alpha \cos\beta + \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta + \sin\alpha \sin\beta - 2\cos\alpha \cos\beta = 2\cos\alpha \cos\beta - 2\cos\alpha \cos\beta = 0$

В результате преобразования левой части мы получили 0, что равно правой части тождества.

$0 = 0$

Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть, используя формулы синуса суммы и синуса разности:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Подставим эти выражения в левую часть равенства:

$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) - 2\sin\alpha \cos\beta = (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) + (\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta) - 2\sin\alpha \cos\beta$

Сократим взаимоуничтожающиеся слагаемые $\cos\alpha \sin\beta$ и $-\cos\alpha \sin\beta$ и приведем подобные:

$\sin\alpha \cos\beta + \sin\alpha \cos\beta - 2\sin\alpha \cos\beta = 2\sin\alpha \cos\beta - 2\sin\alpha \cos\beta = 0$

Левая часть равна правой части.

$0 = 0$

Ответ: тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть тождества. Снова используем формулы синуса суммы и разности:

$\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = (\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta)(\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta)$

Выражение в правой части представляет собой формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = \sin\alpha \cos\beta$ и $b = \cos\alpha \sin\beta$. Применим ее:

$(\sin\alpha \cos\beta)^2 - (\cos\alpha \sin\beta)^2 = \sin^2\alpha \cos^2\beta - \cos^2\alpha \sin^2\beta$

Чтобы привести полученное выражение к виду правой части тождества, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого следует, что $\cos^2x = 1 - \sin^2x$. Заменим $\cos^2\beta$ на $1 - \sin^2\beta$ и $\cos^2\alpha$ на $1 - \sin^2\alpha$:

$\sin^2\alpha(1 - \sin^2\beta) - (1 - \sin^2\alpha)\sin^2\beta$

Раскроем скобки:

$\sin^2\alpha - \sin^2\alpha \sin^2\beta - (\sin^2\beta - \sin^2\alpha \sin^2\beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\alpha \sin^2\beta - \sin^2\beta + \sin^2\alpha \sin^2\beta$

Сократим подобные слагаемые:

$\sin^2\alpha - \sin^2\beta$

Таким образом, мы показали, что левая часть равна правой.

$\sin^2\alpha - \sin^2\beta = \sin^2\alpha - \sin^2\beta$

Ответ: тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть тождества, используя формулы косинуса суммы и разности:

$\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = (\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta)(\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta)$

Это также формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \cos\alpha \cos\beta$ и $b = \sin\alpha \sin\beta$. Применим ее:

$(\cos\alpha \cos\beta)^2 - (\sin\alpha \sin\beta)^2 = \cos^2\alpha \cos^2\beta - \sin^2\alpha \sin^2\beta$

Правая часть тождества, к которой мы стремимся, имеет вид $\cos^2\alpha - \sin^2\beta$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, чтобы выразить $\cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta$ и $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.

$\cos^2\alpha (1 - \sin^2\beta) - (1 - \cos^2\alpha)\sin^2\beta$

Раскроем скобки:

$\cos^2\alpha - \cos^2\alpha \sin^2\beta - (\sin^2\beta - \cos^2\alpha \sin^2\beta) = \cos^2\alpha - \cos^2\alpha \sin^2\beta - \sin^2\beta + \cos^2\alpha \sin^2\beta$

Сократим слагаемые $-\cos^2\alpha \sin^2\beta$ и $+\cos^2\alpha \sin^2\beta$:

$\cos^2\alpha - \sin^2\beta$

Преобразованная левая часть совпадает с правой частью исходного равенства.

$\cos^2\alpha - \sin^2\beta = \cos^2\alpha - \sin^2\beta$

Ответ: тождество доказано.