Номер 14.4, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.4. Найдите область определения и множество значений функции:

1) $f(x) = 2\sin3x - 1;$

2) $f(x) = 3 - 2\cos2x;$

3) $f(x) = 2 - \sin(x - \pi).$

1) Для функции $f(x) = 2\sin3x - 1$.

Область определения: Функция синус определена для любого действительного аргумента. Выражение $3x$ также определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения $D(f)$ данной функции — это множество всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Значения функции синус всегда находятся в пределах отрезка $[-1; 1]$. Исходя из этого, построим цепочку неравенств:

$-1 \le \sin(3x) \le 1$

Умножим все части неравенства на 2 (знаки неравенства сохраняются):

$-1 \cdot 2 \le 2\sin(3x) \le 1 \cdot 2$

$-2 \le 2\sin(3x) \le 2$

Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-2 - 1 \le 2\sin(3x) - 1 \le 2 - 1$

$-3 \le f(x) \le 1$

Таким образом, множество значений $E(f)$ функции — это отрезок $[-3; 1]$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(f) = [-3; 1]$.

2) Для функции $f(x) = 3 - 2\cos2x$.

Область определения: Функция косинус определена для любого действительного аргумента. Выражение $2x$ определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения $D(f)$ данной функции — это множество всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Значения функции косинус всегда находятся в пределах отрезка $[-1; 1]$.

$-1 \le \cos(2x) \le 1$

Умножим все части неравенства на -2. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные:

$-1 \cdot (-2) \ge -2\cos(2x) \ge 1 \cdot (-2)$

$2 \ge -2\cos(2x) \ge -2$

Запишем это неравенство в более привычном виде (от меньшего к большему):

$-2 \le -2\cos(2x) \le 2$

Теперь прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$3 - 2 \le 3 - 2\cos(2x) \le 3 + 2$

$1 \le f(x) \le 5$

Таким образом, множество значений $E(f)$ функции — это отрезок $[1; 5]$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(f) = [1; 5]$.

3) Для функции $f(x) = 2 - \sin(x - \pi)$.

Область определения: Функция синус определена для любого действительного аргумента. Выражение $x - \pi$ определено для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения $D(f)$ данной функции — это множество всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Значения функции синус, независимо от ее аргумента, всегда находятся в пределах отрезка $[-1; 1]$.

$-1 \le \sin(x - \pi) \le 1$

Умножим все части неравенства на -1. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные:

$-1 \cdot (-1) \ge -\sin(x - \pi) \ge 1 \cdot (-1)$

$1 \ge -\sin(x - \pi) \ge -1$

Запишем это неравенство в стандартном виде:

$-1 \le -\sin(x - \pi) \le 1$

Теперь прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$2 - 1 \le 2 - \sin(x - \pi) \le 2 + 1$

$1 \le f(x) \le 3$

Таким образом, множество значений $E(f)$ функции — это отрезок $[1; 3]$.

Ответ: Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$; множество значений $E(f) = [1; 3]$.