Номер 14.11, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.11. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = \cos 3x \sin 3x;$

2) $f(x) = \cos^2 2x - \sin^2 2x;$

3) $f(x) = \frac{4}{1 + \mathrm{tg}^2 x};$

4) $f(x) = \cos^4 3x - \sin^4 3x;$

5) $f(x) = \frac{3}{1 + \mathrm{ctg}^2 x};$

6) $f(x) = 2 - \frac{1}{1 + \mathrm{tg}^2 x}.$

1) f(x) = cos3x sin3x

Для нахождения области значений функции $f(x) = \cos3x \sin3x$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Преобразуем исходную функцию:

$f(x) = \cos3x \sin3x = \frac{1}{2} (2 \sin3x \cos3x) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3x) = \frac{1}{2}\sin(6x)$.

Область значений функции синус, $E(\sin t)$, это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, $-1 \le \sin(6x) \le 1$.

Умножим все части неравенства на $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot (-1) \le \frac{1}{2}\sin(6x) \le \frac{1}{2} \cdot 1$

$-\frac{1}{2} \le f(x) \le \frac{1}{2}$

Таким образом, область значений функции $f(x)$ есть отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $E(f) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$.

2) f(x) = cos²2x - sin²2x

Для нахождения области значений функции $f(x) = \cos^22x - \sin^22x$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Применим эту формулу к нашей функции, где $\alpha = 2x$:

$f(x) = \cos(2 \cdot 2x) = \cos(4x)$.

Область значений функции косинус, $E(\cos t)$, это отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, область значений функции $f(x) = \cos(4x)$ также является отрезком $[-1, 1]$.

Ответ: $E(f) = [-1, 1]$.

3) f(x) = 4 / (1 + tg²x)

Для нахождения области значений функции $f(x) = \frac{4}{1 + \text{tg}^2x}$ воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \text{tg}^2x = \frac{1}{\cos^2x}$.

Преобразуем функцию:

$f(x) = \frac{4}{1 / \cos^2x} = 4\cos^2x$.

Область определения исходной функции содержит ограничение, связанное с тангенсом: $\cos x \neq 0$.

Мы знаем, что $0 \le \cos^2x \le 1$ для любых $x$, для которых $\cos x$ определен.

Из-за ограничения $\cos x \neq 0$, получаем, что $\cos^2x \neq 0$. Таким образом, $\cos^2x$ может принимать любые значения из полуинтервала $(0, 1]$.

Теперь найдем область значений для $f(x) = 4\cos^2x$:

Поскольку $0 < \cos^2x \le 1$, умножив неравенство на 4, получим:

$4 \cdot 0 < 4\cos^2x \le 4 \cdot 1$

$0 < f(x) \le 4$

Следовательно, область значений функции — это полуинтервал $(0, 4]$.

Ответ: $E(f) = (0, 4]$.

4) f(x) = cos⁴3x - sin⁴3x

Для нахождения области значений функции $f(x) = \cos^43x - \sin^43x$ разложим выражение на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$f(x) = (\cos^23x - \sin^23x)(\cos^23x + \sin^23x)$.

Применим два основных тригонометрических тождества:

1. Основное тригонометрическое тождество: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$.

2. Формула косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

В нашем случае $\alpha = 3x$. Тогда:

$\cos^23x + \sin^23x = 1$

$\cos^23x - \sin^23x = \cos(2 \cdot 3x) = \cos(6x)$

Подставляя эти выражения в формулу для $f(x)$, получаем:

$f(x) = \cos(6x) \cdot 1 = \cos(6x)$.

Область значений функции косинус, $E(\cos t)$, это отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, область значений функции $f(x) = \cos(6x)$ также является отрезком $[-1, 1]$.

Ответ: $E(f) = [-1, 1]$.

5) f(x) = 3 / (1 + ctg²x)

Для нахождения области значений функции $f(x) = \frac{3}{1 + \text{ctg}^2x}$ воспользуемся тригонометрическим тождеством: $1 + \text{ctg}^2x = \frac{1}{\sin^2x}$.

Преобразуем функцию:

$f(x) = \frac{3}{1 / \sin^2x} = 3\sin^2x$.

Область определения исходной функции содержит ограничение, связанное с котангенсом: $\sin x \neq 0$.

Мы знаем, что $0 \le \sin^2x \le 1$ для любых $x$, для которых $\sin x$ определен.

Из-за ограничения $\sin x \neq 0$, получаем, что $\sin^2x \neq 0$. Таким образом, $\sin^2x$ может принимать любые значения из полуинтервала $(0, 1]$.

Теперь найдем область значений для $f(x) = 3\sin^2x$:

Поскольку $0 < \sin^2x \le 1$, умножив неравенство на 3, получим:

$3 \cdot 0 < 3\sin^2x \le 3 \cdot 1$

$0 < f(x) \le 3$

Следовательно, область значений функции — это полуинтервал $(0, 3]$.

Ответ: $E(f) = (0, 3]$.

6) f(x) = 2 - 1 / (1 + tg²x)

Для нахождения области значений функции $f(x) = 2 - \frac{1}{1 + \text{tg}^2x}$ сначала упростим выражение в правой части. Как и в задании 3, используем тождество $1 + \text{tg}^2x = \frac{1}{\cos^2x}$.

Тогда $\frac{1}{1 + \text{tg}^2x} = \cos^2x$.

Подставим это в нашу функцию:

$f(x) = 2 - \cos^2x$.

Область определения исходной функции имеет ограничение $\cos x \neq 0$ из-за наличия тангенса. Следовательно, $\cos^2x \neq 0$.

Известно, что $0 \le \cos^2x \le 1$. Учитывая ограничение, получаем $0 < \cos^2x \le 1$.

Теперь найдем область значений для $f(x) = 2 - \cos^2x$.

Начнем с неравенства $0 < \cos^2x \le 1$.

Умножим неравенство на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-1 \le -\cos^2x < 0$.

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$2 - 1 \le 2 - \cos^2x < 2 + 0$

$1 \le f(x) < 2$.

Следовательно, область значений функции — это полуинтервал $[1, 2)$.

Ответ: $E(f) = [1, 2)$.