Номер 14.17, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.17. Найдите числа A, b и с так, чтобы на рисунке 14.2 был изображен график функции $y = A\cos(bx + c)$.

1)

Рис. 14.2

2)

Рис. 14.2

1) Для нахождения чисел A, b и c для функции $y = A \cos(bx + c)$ по представленному графику, проанализируем его ключевые характеристики.

1. Амплитуда A: Амплитуда равна половине разности между максимальным и минимальным значениями функции. На графике $y_{max} = 3$ и $y_{min} = -3$.$|A| = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = \frac{3 - (-3)}{2} = 3$.Будем считать, что $A$ — положительное число, т.е. $A = 3$.

2. Коэффициент b: Этот коэффициент связан с периодом функции $T$ соотношением $T = \frac{2\pi}{|b|}$. Период — это длина одного полного цикла. На графике видно, что функция проходит через ноль с отрицательным наклоном в точке $x=0$ и в следующий раз в точке $x=\pi$. Таким образом, период $T = \pi$.Предполагая, что $b > 0$, находим:$b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.

3. Фазовый сдвиг c: Теперь уравнение функции имеет вид $y = 3 \cos(2x + c)$. Чтобы найти $c$, воспользуемся точкой на графике, например, $(0, 0)$.Подставляем ее координаты в уравнение:$0 = 3 \cos(2 \cdot 0 + c)$$0 = 3 \cos(c)$$\cos(c) = 0$Это уравнение имеет решения вида $c = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число.Чтобы выбрать конкретное значение $c$, посмотрим на поведение функции в точке $x=0$. График в этой точке убывает, следовательно, производная функции $y'$ в этой точке должна быть отрицательной.$y' = (3 \cos(2x + c))' = -3 \sin(2x + c) \cdot 2 = -6 \sin(2x + c)$.При $x=0$, $y'(0) = -6 \sin(c)$.Условие $y'(0) < 0$ означает, что $-6 \sin(c) < 0$, или $\sin(c) > 0$.Из множества решений $c = \frac{\pi}{2} + k\pi$ этому условию удовлетворяет, например, $c = \frac{\pi}{2}$ (поскольку $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1 > 0$).

Таким образом, мы нашли искомые числа.

Ответ: $A=3, b=2, c=\frac{\pi}{2}$.

2) Аналогично найдем параметры для второго графика.

1. Амплитуда A: На графике максимальное значение $y_{max} = 2$, а минимальное $y_{min} = -2$.$|A| = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = \frac{2 - (-2)}{2} = 2$.Выберем положительное значение $A = 2$.

2. Коэффициент b: Определим период $T$. На графике видно, что один полный цикл функции укладывается на отрезке от $x=0$ до $x=\frac{\pi}{2}$ (в обеих этих точках функция равна нулю и убывает). Значит, период $T = \frac{\pi}{2}$.Находим $b$ (при $b > 0$):$b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4$.

3. Фазовый сдвиг c: Уравнение функции $y = 2 \cos(4x + c)$. Используем точку $(0, 0)$, через которую проходит график.Подставляем в уравнение:$0 = 2 \cos(4 \cdot 0 + c)$$0 = 2 \cos(c)$$\cos(c) = 0$Решения этого уравнения: $c = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число.В точке $x=0$ функция убывает, поэтому ее производная $y'$ отрицательна.$y' = (2 \cos(4x + c))' = -2 \sin(4x + c) \cdot 4 = -8 \sin(4x + c)$.При $x=0$, $y'(0) = -8 \sin(c)$.Из условия $y'(0) < 0$ следует, что $-8 \sin(c) < 0$, то есть $\sin(c) > 0$.Из возможных значений $c$ этому условию удовлетворяет $c = \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, мы определили все параметры.

Ответ: $A=2, b=4, c=\frac{\pi}{2}$.