Номер 14.14, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.14. Тело движется по закону $x(t)$. Найдите амплитуду, период и частоту колебания. Найдите координату нахождения тела в момент времени $t_0$, если:

1) $x(t) = 2,5\cos2\pi t$, $t_0 = 6,5$ с;

2) $x(t) = 5\cos(3\pi t + \frac{\pi}{3})$, $t_0 = 10,5$ с.

1) Для уравнения гармонических колебаний $x(t) = 2,5\cos(2\pi t)$.

Общий вид уравнения гармонических колебаний: $x(t) = A\cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

Сравнивая с заданным уравнением, находим:

Амплитуда $A$ — это максимальное отклонение от положения равновесия. Она равна коэффициенту перед косинусом.

$A = 2,5$ м.

Циклическая частота $\omega$ — это коэффициент при времени $t$ под знаком косинуса.

$\omega = 2\pi$ рад/с.

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

$T = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$ с.

Частота колебаний $\nu$ (или $f$) — это величина, обратная периоду: $\nu = \frac{1}{T}$.

$\nu = \frac{1}{1} = 1$ Гц.

Теперь найдем координату тела в момент времени $t_0 = 6,5$ с, подставив это значение в уравнение движения:

$x(t_0) = x(6,5) = 2,5\cos(2\pi \cdot 6,5) = 2,5\cos(13\pi)$.

Так как функция косинуса периодична с периодом $2\pi$, то $\cos(13\pi) = \cos(12\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.

Следовательно, $x(6,5) = 2,5 \cdot (-1) = -2,5$ м.

Ответ: амплитуда $A = 2,5$ м, период $T = 1$ с, частота $\nu = 1$ Гц, координата в момент времени $t_0=6,5$ с равна $x(6,5) = -2,5$ м.

2) Для уравнения гармонических колебаний $x(t) = 5\cos(3\pi t + \frac{\pi}{3})$.

Сравнивая с общим видом $x(t) = A\cos(\omega t + \phi_0)$, находим параметры:

Амплитуда $A = 5$ м.

Циклическая частота $\omega = 3\pi$ рад/с.

Период колебаний $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3\pi} = \frac{2}{3}$ с.

Частота колебаний $\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} = 1,5$ Гц.

Найдем координату тела в момент времени $t_0 = 10,5$ с:

$x(10,5) = 5\cos(3\pi \cdot 10,5 + \frac{\pi}{3}) = 5\cos(31,5\pi + \frac{\pi}{3})$.

Приведем аргумент косинуса к общему знаменателю:

$31,5\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{63}{2}\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{189\pi + 2\pi}{6} = \frac{191\pi}{6}$.

Выделим целое число периодов $2\pi$ из аргумента. $191 = 6 \cdot 31 + 5$.

$\frac{191\pi}{6} = \frac{(6 \cdot 31 + 5)\pi}{6} = 31\pi + \frac{5\pi}{6}$.

Используем периодичность косинуса: $\cos(31\pi + \frac{5\pi}{6}) = \cos(30\pi + \pi + \frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{5\pi}{6})$.

Применим формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)$:

$\cos(\pi + \frac{5\pi}{6}) = -\cos(\frac{5\pi}{6})$.

Значение $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда $-\cos(\frac{5\pi}{6}) = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, координата тела:

$x(10,5) = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2,5\sqrt{3}$ м.

Ответ: амплитуда $A = 5$ м, период $T = \frac{2}{3}$ с, частота $\nu = 1,5$ Гц, координата в момент времени $t_0=10,5$ с равна $x(10,5) = 2,5\sqrt{3}$ м.