Номер 14.18, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.18. Исследуйте функцию $y = 3\cos \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$ на монотонность на про-

межутке:

1) $\left[0; \frac{2\pi}{3}\right]$;

2) $(1; 2)$;

3) $(-1; 1)$;

4) $\left[-\frac{7\pi}{12}; 0\right]$.

Для исследования функции на монотонность необходимо найти ее производную и определить знак производной на заданных промежутках. Если производная положительна, функция возрастает; если отрицательна — убывает. Если производная меняет знак на промежутке, функция не является монотонной.

Заданная функция: $y = 3\cos(2x + \frac{2\pi}{3})$.

Находим ее производную по правилу дифференцирования сложной функции:

$y' = (3\cos(2x + \frac{2\pi}{3}))' = 3 \cdot (-\sin(2x + \frac{2\pi}{3})) \cdot (2x + \frac{2\pi}{3})' = -6\sin(2x + \frac{2\pi}{3})$.

Характер монотонности функции зависит от знака $\sin(2x + \frac{2\pi}{3})$:

• Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $\sin(2x + \frac{2\pi}{3}) < 0$. Это выполняется, когда аргумент синуса находится в 3-й или 4-й четверти, т.е. $\pi + 2\pi n < 2x + \frac{2\pi}{3} < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $\sin(2x + \frac{2\pi}{3}) > 0$. Это выполняется, когда аргумент синуса находится в 1-й или 2-й четверти, т.е. $2\pi n < 2x + \frac{2\pi}{3} < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Точки, в которых монотонность может меняться (точки экстремума), находятся из условия $y' = 0$, то есть $\sin(2x + \frac{2\pi}{3}) = 0$. Отсюда $2x + \frac{2\pi}{3} = \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$, что дает $x = \frac{\pi k}{2} - \frac{\pi}{3}$.

Теперь исследуем каждый промежуток.

1) $[0; \frac{2\pi}{3}]$

Определим, как изменяется аргумент синуса $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$ на этом отрезке.

При $x=0$, $t = 2(0) + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

При $x=\frac{2\pi}{3}$, $t = 2(\frac{2\pi}{3}) + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = 2\pi$.

Таким образом, когда $x \in [0; \frac{2\pi}{3}]$, аргумент $t$ изменяется в пределах от $\frac{2\pi}{3}$ до $2\pi$.

На промежутке $t \in [\frac{2\pi}{3}, \pi]$ (что соответствует $x \in [0, \frac{\pi}{6}]$), $\sin(t) \ge 0$, поэтому $y' = -6\sin(t) \le 0$, и функция убывает.

На промежутке $t \in [\pi, 2\pi]$ (что соответствует $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}]$), $\sin(t) \le 0$, поэтому $y' = -6\sin(t) \ge 0$, и функция возрастает.

Точка смены монотонности $x = \frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \frac{2\pi}{3}]$. Следовательно, функция не является монотонной на всем отрезке.

Ответ: функция убывает на отрезке $[0; \frac{\pi}{6}]$ и возрастает на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$, следовательно, не является монотонной на промежутке $[0; \frac{2\pi}{3}]$.

2) $(1; 2)$

Определим, как изменяется аргумент синуса $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$ на этом интервале.

При $x=1$, $t = 2 + \frac{2\pi}{3}$. При $x=2$, $t = 4 + \frac{2\pi}{3}$.

Используя приближение $\pi \approx 3.14$, получаем $\frac{2\pi}{3} \approx 2.09$.

Тогда при $x \in (1; 2)$ аргумент $t \in (2+2.09; 4+2.09)$, то есть $t \in (4.09; 6.09)$.

Поскольку $\pi \approx 3.14$ и $2\pi \approx 6.28$, весь интервал для $t$ — $(4.09; 6.09)$ — полностью содержится в интервале $(\pi; 2\pi)$.

На интервале $(\pi; 2\pi)$ значение $\sin(t) < 0$.

Следовательно, производная $y' = -6\sin(t)$ будет положительной ($y' > 0$) на всем интервале $(1; 2)$.

Ответ: функция монотонно возрастает на промежутке $(1; 2)$.

3) $(-1; 1)$

Определим, как изменяется аргумент синуса $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$ на этом интервале.

При $x=-1$, $t = -2 + \frac{2\pi}{3}$. При $x=1$, $t = 2 + \frac{2\pi}{3}$.

Приближенно, $t \in (-2+2.09; 2+2.09)$, то есть $t \in (0.09; 4.09)$.

Этот интервал для $t$ содержит точку $t=\pi \approx 3.14$.

Точка смены знака $\sin(t)$ соответствует $t=\pi$, то есть $2x + \frac{2\pi}{3} = \pi$, откуда $2x=\frac{\pi}{3}$, $x=\frac{\pi}{6}$.

Так как $x = \frac{\pi}{6} \approx 0.524$ и $-1 < \frac{\pi}{6} < 1$, точка смены монотонности лежит внутри интервала $(-1; 1)$.

При $x \in (-1, \frac{\pi}{6})$, $t \in (-2+\frac{2\pi}{3}, \pi)$, где $\sin(t) > 0$, значит $y' < 0$ (функция убывает).

При $x \in (\frac{\pi}{6}, 1)$, $t \in (\pi, 2+\frac{2\pi}{3})$, где $\sin(t) < 0$, значит $y' > 0$ (функция возрастает).

Ответ: функция не является монотонной на промежутке $(-1; 1)$.

4) $[-\frac{7\pi}{12}; 0]$

Определим, как изменяется аргумент синуса $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$ на этом отрезке.

При $x=-\frac{7\pi}{12}$, $t = 2(-\frac{7\pi}{12}) + \frac{2\pi}{3} = -\frac{7\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.

При $x=0$, $t = \frac{2\pi}{3}$.

Таким образом, когда $x \in [-\frac{7\pi}{12}; 0]$, аргумент $t$ изменяется в пределах от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{2\pi}{3}$.

Этот промежуток для $t$ содержит точку $t=0$, в которой $\sin(t)$ меняет знак.

Точка смены монотонности соответствует $t=0$, то есть $2x + \frac{2\pi}{3} = 0$, откуда $x = -\frac{\pi}{3}$.

Проверим, принадлежит ли $x = -\frac{\pi}{3}$ отрезку $[-\frac{7\pi}{12}; 0]$. Так как $-\frac{7\pi}{12} < -\frac{4\pi}{12} = -\frac{\pi}{3} < 0$, точка принадлежит отрезку.

На промежутке $t \in [-\frac{\pi}{2}, 0]$ (что соотв. $x \in [-\frac{7\pi}{12}, -\frac{\pi}{3}]$), $\sin(t) \le 0$, поэтому $y' \ge 0$ (функция возрастает).

На промежутке $t \in [0, \frac{2\pi}{3}]$ (что соотв. $x \in [-\frac{\pi}{3}, 0]$), $\sin(t) \ge 0$, поэтому $y' \le 0$ (функция убывает).

Ответ: функция возрастает на отрезке $[-\frac{7\pi}{12}; -\frac{\pi}{3}]$ и убывает на отрезке $[-\frac{\pi}{3}; 0]$, следовательно, не является монотонной на промежутке $[-\frac{7\pi}{12}; 0]$.