Номер 14.22, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.22.

1) Тригонометрические функции у древних греков.

2) Тригонометрические функции в Индии.

3) Учение о тригонометрических функциях у народов Центральной Азии и Кавказа.

4) Развитие учения о тригонометрических функциях в Европе.

5) Примеры применения тригонометрических функций в различных областях знаний и практической деятельности человека.

1) Тригонометрические функции у древних греков.

Зарождение тригонометрии в Древней Греции было неразрывно связано с развитием астрономии. Греческие ученые не использовали тригонометрические функции в современном их понимании (синус, косинус и т.д.). Вместо этого они оперировали понятием хорды. Хорда — это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Длина хорды зависит от центрального угла, который она стягивает. «Отцом тригонометрии» считается Гиппарх Никейский (II в. до н.э.), который первым составил таблицы хорд. Эти таблицы представляли собой по сути таблицы значений функции `$crd(α)$`, где `$α$` — центральный угол. Наиболее полный и дошедший до нас труд, содержащий таблицы хорд, — это «Альмагест» Клавдия Птолемея (II в. н.э.). Птолемей вычислил значения хорд для углов от $0.5^\circ$ до $180^\circ$ с шагом в $0.5^\circ$ в окружности радиусом $R=60$. Связь между греческой хордой и современным синусом выражается формулой: $crd(α) = 2R \sin(α/2)$. Таким образом, греческая тригонометрия была геометрической, а не аналитической, и служила инструментом для решения астрономических задач, таких как предсказание положений планет.

Ответ: Древние греки использовали для астрономических расчетов тригонометрию, основанную на понятии хорд, а не функций. Ключевой вклад внесли Гиппарх, создавший первые таблицы хорд, и Птолемей, усовершенствовавший их в своем труде «Альмагест».

2) Тригонометрические функции в Индии.

Индийские математики и астрономы в IV-V вв. н.э. совершили качественный скачок в развитии тригонометрии, перейдя от громоздких хорд к более удобным функциям. Они ввели понятие, которое мы сегодня называем синусом. В их трудах, в частности в «Сурья-сиддханте» и работах Арьябхаты (V в. н.э.), появляется функция ардха-джива (полухорда), которую чаще называли просто джива (или джья). Она определялась как половина хорды, стягивающей двойной угол, что соответствует современному определению синуса, умноженному на радиус окружности: $R \sin(α)$. Арьябхата в своем трактате «Арьябхатия» привел первую в истории таблицу синусов с шагом в $3^\circ 45'$. Индийские ученые также ввели и другие функции, такие как косинус (коти-джья) и версинус (уткрама-джья). Этот переход от хорд к синусам значительно упростил вычисления и стал фундаментом для дальнейшего развития тригонометрии в странах исламского мира.

Ответ: Индийские математики заменили греческие хорды на более удобную функцию синуса (джива), а также ввели косинус. Арьябхата составил первые таблицы синусов, что стало важнейшим шагом в развитии тригонометрии.

3) Учение о тригонометрических функциях у народов Центральной Азии и Кавказа.

В IX-XIII веках центр развития математики, включая тригонометрию, переместился на Ближний Восток и в Среднюю Азию. Ученые исламского мира перевели, изучили и синтезировали труды греческих и индийских математиков. Они не только усвоили предыдущие знания, но и значительно их развили, выделив тригонометрию в самостоятельную математическую дисциплину.

Ключевые достижения:

• Мухаммад аль-Хорезми (IX в., Хорезм) составил точные таблицы синусов и косинусов.

• Аль-Баттани (X в.) ввел понятия котангенса и секанса и составил их таблицы.

• Абу-ль-Вафа аль-Бузджани (X в., Хорасан) ввел функции тангенса и косеканса, построил их графики и вывел формулу для синуса суммы углов: $\sin(α+β) = \sin(α)\cos(β) + \cos(α)\sin(β)$.

• Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в., Хорасан) в своем «Трактате о полном четырехстороннике» впервые представил тригонометрию как отдельную науку. Он систематизировал все известные на тот момент знания и доказал теорему синусов для плоских и сферических треугольников: $a/\sin(A) = b/\sin(B) = c/\sin(C)$. Таким образом, были введены все шесть современных тригонометрических функций, и тригонометрия перестала быть лишь приложением к астрономии.

Ответ: Ученые народов Центральной Азии и Кавказа систематизировали тригонометрию, выделив ее в отдельную науку, ввели все шесть тригонометрических функций (тангенс, котангенс, секанс, косеканс) и доказали фундаментальные теоремы, в частности, теорему синусов.

4) Развитие учения о тригонометрических функциях в Европе.

Европейские ученые познакомились с тригонометрией через переводы арабских трактатов в XII-XIII веках. Первым значительным европейским трудом стала книга «О треугольниках всякого рода» Региомонтана (Иоганн Мюллер, XV в.), которая систематизировала знания о плоской и сферической тригонометрии.

Качественный скачок произошел в XVI-XVII веках. Георг Иоахим Ретик, ученик Коперника, определил тригонометрические функции как отношения сторон прямоугольного треугольника, освободив их от привязки к окружности. Франсуа Виет применил к тригонометрии аппарат алгебры. Изобретение логарифмов Джоном Непером в начале XVII века кардинально упростило тригонометрические вычисления.

Окончательное становление современной тригонометрии связано с работами Леонарда Эйлера в XVIII веке. Он:

• Ввел современную символику: $\sin, \cos, \tan$ и др.

• Распространил определение тригонометрических функций на всю числовую ось, рассматривая их как функции действительного или комплексного переменного.

• Установил знаменитую формулу Эйлера $e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$, которая связала тригонометрические функции с показательной функцией и заложила основы теории функций комплексного переменного.

Благодаря работам Эйлера и развитию математического анализа (в частности, рядов Тейлора) тригонометрия приобрела свой современный аналитический вид.

Ответ: В Европе тригонометрия прошла путь от усвоения арабских знаний (Региомонтан) к определению функций как отношений сторон треугольника (Ретик), а затем, благодаря работам Эйлера и развитию матанализа, превратилась в раздел аналитической теории функций.

5) Примеры применения тригонометрических функций в различных областях знаний и практической деятельности человека.

Тригонометрические функции являются одним из наиболее востребованных математических инструментов и находят применение в самых разных сферах:

• Физика и инженерия: Описание любых колебательных и волновых процессов (звуковые волны, световые волны, переменный электрический ток, колебания маятника) осуществляется с помощью синусов и косинусов, например, по формуле $x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$. В механике они используются для разложения векторов сил на составляющие при проектировании мостов, зданий и других сооружений.

• Астрономия и геодезия: Метод триангуляции, основанный на тригонометрии, позволяет измерять расстояния до далеких объектов (звезд, планет) и составлять точные географические карты. Системы глобального позиционирования (GPS) используют тригонометрические вычисления для определения местоположения.

• Компьютерная графика: Вращение, масштабирование и перемещение 2D и 3D объектов на экране выполняются с помощью матриц преобразования, элементами которых являются тригонометрические функции.

• Обработка сигналов и изображений: Сжатие данных, например в формате JPEG, использует дискретное косинус-преобразование, которое раскладывает изображение на совокупность гармоник. Преобразование Фурье, основанное на синусах и косинусах, является ключевым инструментом для анализа любых сигналов.

• Медицина: Анализ периодических сигналов организма, таких как электрокардиограмма (ЭКГ) и электроэнцефалограмма (ЭЭГ), опирается на методы, использующие тригонометрические ряды. Алгоритмы реконструкции изображений в компьютерной томографии (КТ) и МРТ также включают тригонометрические преобразования.

• Музыка и акустика: Любой музыкальный звук можно представить как сумму простых синусоидальных волн (гармоник), что позволяет анализировать тембр и синтезировать новые звуки.

Ответ: Тригонометрические функции незаменимы для описания волн и колебаний в физике, для навигации и картографии (GPS, триангуляция), в компьютерной графике, сжатии данных (JPEG), анализе медицинских сигналов (ЭКГ) и в акустике.