Номер 14.20, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*14.20. При каких значениях параметра $p$ функция $y = 2\sin(0,5x + \frac{\pi}{6})$:

1) возрастает на $(p - \frac{2\pi}{3}; p + \frac{2\pi}{3})$;

2) убывает на $[p; p + \frac{\pi}{2}]$?

1) возрастает на ($p - \frac{2\pi}{3}; p + \frac{2\pi}{3}$);

Чтобы определить, при каких значениях параметра $p$ функция $y = 2\sin(0.5x + \frac{\pi}{6})$ возрастает на заданном интервале, сначала найдем общие промежутки возрастания этой функции. Монотонность функции $y(x)$ определяется поведением функции $\sin(t)$, где $t = 0.5x + \frac{\pi}{6}$. Поскольку коэффициенты 2 (перед синусом) и 0.5 (перед $x$) положительны, функция $y(x)$ возрастает там же, где возрастает $\sin(t)$.

Функция $\sin(t)$ возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Найдем соответствующие промежутки для $x$, решив двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 0.5x + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{3\pi+\pi}{6} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{3\pi-\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{4\pi}{6} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{2\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Умножим все части на 2:

$-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k \le x \le \frac{2\pi}{3} + 4\pi k$

Таким образом, функция $y(x)$ возрастает на промежутках $[-\frac{4\pi}{3} + 4\pi k; \frac{2\pi}{3} + 4\pi k]$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы функция возрастала на интервале ($p - \frac{2\pi}{3}; p + \frac{2\pi}{3}$), этот интервал должен целиком содержаться в одном из найденных промежутков возрастания. Это означает, что для некоторого $k \in \mathbb{Z}$ должна выполняться система неравенств:

$\begin{cases} p - \frac{2\pi}{3} \ge -\frac{4\pi}{3} + 4\pi k \\ p + \frac{2\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \end{cases}$

Решим эту систему относительно $p$:

Из первого неравенства: $p \ge -\frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \implies p \ge -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k$.

Из второго неравенства: $p \le \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \implies p \le 4\pi k$.

Объединяя оба условия, получаем, что для каждого целого $k$ параметр $p$ должен удовлетворять неравенству:

$-\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \le p \le 4\pi k$

Ответ: $p \in [-\frac{2\pi}{3} + 4\pi k; 4\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) убывает на [$p; p + \frac{\pi}{2}$]?

Аналогично первому пункту, найдем промежутки убывания функции $y(x)$. Функция $\sin(t)$ убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем соответствующие промежутки для $x$, решив двойное неравенство для аргумента $t = 0.5x + \frac{\pi}{6}$:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 0.5x + \frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Вычтем $\frac{\pi}{6}$ из всех частей:

$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{3\pi-\pi}{6} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{9\pi-\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{2\pi}{6} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{8\pi}{6} + 2\pi k$

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$

Умножим все части на 2:

$\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \le x \le \frac{8\pi}{3} + 4\pi k$

Следовательно, функция $y(x)$ убывает на промежутках $[\frac{2\pi}{3} + 4\pi k; \frac{8\pi}{3} + 4\pi k]$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы функция убывала на отрезке [$p; p + \frac{\pi}{2}$], этот отрезок должен целиком содержаться в одном из найденных промежутков убывания. Это означает, что для некоторого $k \in \mathbb{Z}$ должна выполняться система неравенств:

$\begin{cases} p \ge \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \\ p + \frac{\pi}{2} \le \frac{8\pi}{3} + 4\pi k \end{cases}$

Решим эту систему относительно $p$:

Первое неравенство уже дает нам нижнюю границу для $p$.

Из второго неравенства: $p \le \frac{8\pi}{3} - \frac{\pi}{2} + 4\pi k$.

Приведем к общему знаменателю: $p \le \frac{16\pi - 3\pi}{6} + 4\pi k \implies p \le \frac{13\pi}{6} + 4\pi k$.

Объединяя оба условия, получаем, что для каждого целого $k$ параметр $p$ должен удовлетворять неравенству:

$\frac{2\pi}{3} + 4\pi k \le p \le \frac{13\pi}{6} + 4\pi k$

Ответ: $p \in [\frac{2\pi}{3} + 4\pi k; \frac{13\pi}{6} + 4\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.