Номер 14.21, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.21. Расположите в порядке возрастания значений выражения:

1) $sin2$, $sin3$, $cos4$, $cos5$;

2) $sin3$, $sin4$, $sin6$, $sin7$.

1) sin2, sin3, cos4, cos5

Для того чтобы расположить значения выражений в порядке возрастания, определим знаки соответствующих тригонометрических функций. Для этого оценим положение углов, заданных в радианах, на единичной окружности, используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$. Ключевые значения: $\pi/2 \approx 1.57$, $\pi \approx 3.14$, $3\pi/2 \approx 4.71$, $2\pi \approx 6.28$.

Определим знаки выражений.Так как $\pi/2 < 2 < \pi$, угол 2 рад. находится во второй четверти, поэтому $\sin2 > 0$.Так как $\pi/2 < 3 < \pi$, угол 3 рад. также находится во второй четверти, поэтому $\sin3 > 0$.Так как $\pi < 4 < 3\pi/2$, угол 4 рад. находится в третьей четверти, поэтому $\cos4 < 0$.Так как $3\pi/2 < 5 < 2\pi$, угол 5 рад. находится в четвертой четверти, поэтому $\cos5 > 0$.

Единственное отрицательное значение — это $\cos4$, следовательно, оно является наименьшим в данной группе чисел.

Теперь сравним положительные значения: $\sin2$, $\sin3$ и $\cos5$.На интервале $(\pi/2, \pi)$ функция $y=\sin x$ убывает. Поскольку $2 < 3$, отсюда следует, что $\sin2 > \sin3$.

Для сравнения $\sin3$ и $\cos5$, приведем их к значениям функций для острых углов.$\sin3 = \sin(\pi - 3)$.$\cos5 = \cos(2\pi - 5)$.Воспользуемся формулой приведения $\cos(x) = \sin(\pi/2 - x)$, чтобы выразить $\cos5$ через синус: $\cos(2\pi - 5) = \sin(\pi/2 - (2\pi - 5)) = \sin(5 - 3\pi/2)$.Теперь сравним аргументы $\pi - 3$ и $5 - 3\pi/2$. Сравнение $\pi - 3 < 5 - 3\pi/2$ равносильно сравнению $5\pi/2 < 8$, или $\pi < 16/5 = 3.2$. Так как это верное неравенство, то $\pi - 3 < 5 - 3\pi/2$.Оба угла, $(\pi - 3)$ и $(5 - 3\pi/2)$, находятся в первой четверти $(0, \pi/2)$, где функция синуса возрастает. Следовательно, $\sin(\pi - 3) < \sin(5 - 3\pi/2)$, что означает $\sin3 < \cos5$.

Сравним $\sin2$ и $\cos5$. Мы уже знаем, что $\cos5 = \sin(5 - 3\pi/2)$. Аргумент для $\sin2$ после приведения к первой четверти равен $\pi-2$. Сравним $\pi-2$ и $5-3\pi/2$. Неравенство $\pi-2 > 5-3\pi/2$ равносильно $5\pi/2 > 7$, или $\pi > 14/5 = 2.8$. Это верно. Оба угла в первой четверти, значит $\sin(\pi-2) > \sin(5-3\pi/2)$, т.е. $\sin2 > \cos5$.

Таким образом, для положительных значений установлено неравенство: $\sin3 < \cos5 < \sin2$.Объединяя все результаты, получаем итоговый порядок возрастания: $\cos4 < \sin3 < \cos5 < \sin2$.

Ответ: $\cos4, \sin3, \cos5, \sin2$.

2) sin3, sin4, sin6, sin7

Аналогично первому пункту, определим знаки выражений.Угол 3 рад. находится во второй четверти ($\pi/2 < 3 < \pi$), поэтому $\sin3 > 0$.Угол 4 рад. находится в третьей четверти ($\pi < 4 < 3\pi/2$), поэтому $\sin4 < 0$.Угол 6 рад. находится в четвертой четверти ($3\pi/2 < 6 < 2\pi$), поэтому $\sin6 < 0$.Угол 7 рад. находится в первой четверти следующего оборота ($2\pi < 7 < 2\pi + \pi/2$), поэтому $\sin7 > 0$.

Сначала сравним отрицательные значения: $\sin4$ и $\sin6$.Приведем их к синусам острых углов: $\sin4 = -\sin(4 - \pi)$ и $\sin6 = -\sin(2\pi - 6)$.Сравним аргументы $4 - \pi$ и $2\pi - 6$. Неравенство $4 - \pi > 2\pi - 6$ равносильно $10 > 3\pi$, или $\pi < 10/3 \approx 3.33$. Это верно.Поскольку оба аргумента находятся в первой четверти и функция синуса там возрастает, $\sin(4 - \pi) > \sin(2\pi - 6)$.Умножив неравенство на -1, изменим знак: $-\sin(4 - \pi) < -\sin(2\pi - 6)$. Следовательно, $\sin4 < \sin6$.

Теперь сравним положительные значения: $\sin3$ и $\sin7$.Приведем их к синусам острых углов: $\sin3 = \sin(\pi - 3)$ и $\sin7 = \sin(7 - 2\pi)$.Сравним аргументы $\pi - 3$ и $7 - 2\pi$. Неравенство $\pi - 3 < 7 - 2\pi$ равносильно $3\pi < 10$, или $\pi < 10/3$. Это верно.Оба аргумента находятся в первой четверти, где синус возрастает, поэтому $\sin(\pi - 3) < \sin(7 - 2\pi)$.Следовательно, $\sin3 < \sin7$.

Объединяя результаты для отрицательных и положительных чисел, получаем окончательный порядок:$\sin4 < \sin6 < \sin3 < \sin7$.

Ответ: $\sin4, \sin6, \sin3, \sin7$.