Номер 1, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Четной функцией является:

A) $f(x) = 5x^4 - \sin3x$;

B) $f(x) = x^2 + x\sin3x$;

C) $f(x) = 2 + x\cos4x$;

D) $f(x) = \frac{\sin^3 x}{\sin x^2}$.

2. Нечетной функцией является:

Для того чтобы определить, является ли функция четной, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно точки $x=0$.

2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этим условиям.

А) $f(x) = 5x^4 - \sin3x$

Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля.Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = 5(-x)^4 - \sin(3(-x)) = 5x^4 - \sin(-3x)$.Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$), получаем:$f(-x) = 5x^4 - (-\sin3x) = 5x^4 + \sin3x$.Так как $f(-x) = 5x^4 + \sin3x \neq 5x^4 - \sin3x = f(x)$, функция не является четной. Она также не является нечетной, так как $f(-x) \neq -f(x)$. Это функция общего вида.

Ответ: не является четной.

B) $f(x) = x^2 + x\sin3x$

Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля.Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = (-x)^2 + (-x)\sin(3(-x)) = x^2 - x\sin(-3x)$.Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$), получаем:$f(-x) = x^2 - x(-\sin3x) = x^2 + x\sin3x$.Видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: является четной.

C) $f(x) = 2 + x\cos4x$

Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ симметрична относительно нуля.Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = 2 + (-x)\cos(4(-x)) = 2 - x\cos(-4x)$.Используя свойство четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$), получаем:$f(-x) = 2 - x\cos4x$.Так как $f(-x) = 2 - x\cos4x \neq 2 + x\cos4x = f(x)$, функция не является четной. Это функция общего вида.

Ответ: не является четной.

D) $f(x) = \frac{\sin^3 x}{\sin x^2}$

Область определения: $\sin(x^2) \neq 0$, что означает $x^2 \neq k\pi$ для целых $k$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $x \neq \pm\sqrt{k\pi}$ для $k \in \{1, 2, 3, \dots \}$. Эта область симметрична относительно нуля.Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = \frac{\sin^3(-x)}{\sin((-x)^2)} = \frac{(\sin(-x))^3}{\sin(x^2)}$.Используя свойство нечетности синуса, получаем:$f(-x) = \frac{(-\sin x)^3}{\sin(x^2)} = \frac{-\sin^3 x}{\sin(x^2)} = -f(x)$.Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной, а не четной.

Ответ: не является четной.