Номер 2, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Нечетной функцией является:

A) $f(x) = \cos3x;$

B) $f(x) = x^3 + \frac{\cos^3 x}{\operatorname{tg}^2 x};$

C) $f(x) = 2x + \frac{\cos^3 x}{\operatorname{tg}^2 x};$

D) $f(x) = \frac{2\sin^3 x}{\operatorname{ctg}x^3}.$

Для определения, является ли функция нечетной, необходимо проверить выполнение условия $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения функции. Область определения нечетной функции должна быть симметрична относительно начала координат.

A) f(x) = cos3x

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = \cos(3(-x)) = \cos(-3x)$

Используя свойство четности косинуса, $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, получаем:

$f(-x) = \cos(3x)$

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Это условие для четной функции. Следовательно, данная функция является четной, а не нечетной.

Ответ: Функция является четной.

B) f(x) = x³ + $\frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$

Проверим эту функцию на четность. Она представляет собой сумму двух функций: $g(x) = x^3$ и $h(x) = \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$.

Проанализируем каждое слагаемое:

1. $g(x) = x^3$. $g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)$. Эта функция является нечетной.

2. $h(x) = \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$. Найдем $h(-x)$:

$h(-x) = \frac{\cos^3(-x)}{\tg^2(-x)} = \frac{(\cos(-x))^3}{(\tg(-x))^2}$

Так как $\cos(-x) = \cos x$ (четная) и $\tg(-x) = -\tg x$ (нечетная), получаем:

$h(-x) = \frac{(\cos x)^3}{(-\tg x)^2} = \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x} = h(x)$. Эта функция является четной.

Исходная функция $f(x)$ является суммой нечетной функции $g(x)$ и четной функции $h(x)$. Сумма нечетной и четной функций (если ни одна из них не является тождественным нулем) не является ни четной, ни нечетной.

Проверим это напрямую:

$f(-x) = g(-x) + h(-x) = -g(x) + h(x) = -x^3 + \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$

Этот результат не равен ни $f(x) = x^3 + \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$, ни $-f(x) = -x^3 - \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.

C) f(x) = 2x + $\frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$

Эта функция аналогична предыдущей. Она является суммой функции $g(x) = 2x$ и $h(x) = \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$.

1. $g(x) = 2x$. $g(-x) = 2(-x) = -2x = -g(x)$. Эта функция нечетная.

2. $h(x) = \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$. Как мы установили в пункте B, эта функция является четной.

Таким образом, $f(x)$ является суммой нечетной и четной функций, и, следовательно, не является ни четной, ни нечетной.

$f(-x) = 2(-x) + \frac{\cos^3(-x)}{\tg^2(-x)} = -2x + \frac{\cos^3 x}{\tg^2 x}$.

Это не равно $f(x)$ или $-f(x)$.

Ответ: Функция не является ни четной, ни нечетной.

D) f(x) = $\frac{2\sin^3 x}{\ctg x^3}$

Проанализируем числитель и знаменатель.

1. Числитель: $g(x) = 2\sin^3 x$.

$g(-x) = 2\sin^3(-x) = 2(\sin(-x))^3 = 2(-\sin x)^3 = -2\sin^3 x = -g(x)$. Числитель — нечетная функция.

2. Знаменатель: $h(x) = \ctg(x^3)$.

$h(-x) = \ctg((-x)^3) = \ctg(-x^3)$.

Используя свойство нечетности котангенса, $\ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha)$, получаем:

$h(-x) = -\ctg(x^3) = -h(x)$. Знаменатель — нечетная функция.

Теперь найдем $f(-x)$ для всей дроби:

$f(-x) = \frac{g(-x)}{h(-x)} = \frac{-g(x)}{-h(x)} = \frac{g(x)}{h(x)} = f(x)$.

Частное двух нечетных функций является четной функцией. Таким образом, $f(x)$ — четная функция.

Ответ: Функция является четной.

Проанализировав все предложенные варианты, можно заключить, что среди них нет нечетной функции. Функции A и D являются четными, а функции B и C не являются ни четными, ни нечетными (являются функциями общего вида). Вероятнее всего, в условии задачи содержится опечатка.