Номер 14.24, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.24. Вычислите значение выражения:

1) $ \operatorname{tg} 2 \cdot \operatorname{ctg} 2 + \cos^2\pi - \sin^2 15 - \cos^2 15 $

2) $ \cos 1 + \cos(1 + \pi) + \sin 60^\circ - \cos 30^\circ $

1) Вычислим значение выражения $ \text{tg}2 \cdot \text{ctg}2 + \cos^2\pi - \sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ $.

Для решения разобьем выражение на части и вычислим значение каждой из них.

Первая часть: $ \text{tg}2 \cdot \text{ctg}2 $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1 $. Это тождество верно для всех углов $ \alpha $, для которых тангенс и котангенс определены. Угол в 2 радиана удовлетворяет этому условию.

Следовательно, $ \text{tg}2 \cdot \text{ctg}2 = 1 $.

Вторая часть: $ \cos^2\pi $.

Значение косинуса угла $ \pi $ радиан (180°) равно -1.

Тогда $ \cos^2\pi = (\cos\pi)^2 = (-1)^2 = 1 $.

Третья часть: $ -\sin^2 15^\circ - \cos^2 15^\circ $.

Вынесем знак минус за скобки: $ -(\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ) $.

Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Получаем $ -(\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ) = -(1) = -1 $.

Теперь сложим все полученные значения:

$ 1 + 1 + (-1) = 1 + 1 - 1 = 1 $.

Ответ: 1

2) Вычислим значение выражения $ \cos 1 + \cos(1 + \pi) + \sin 60^\circ - \cos 30^\circ $.

В данном выражении углы 1 и $ (1+\pi) $ даны в радианах, а 60° и 30° — в градусах.

Рассмотрим сумму первых двух слагаемых: $ \cos 1 + \cos(1 + \pi) $.

Используем формулу приведения $ \cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha $.

Применив ее, получаем: $ \cos(1 + \pi) = -\cos 1 $.

Тогда сумма первых двух слагаемых равна $ \cos 1 + (-\cos 1) = \cos 1 - \cos 1 = 0 $.

Теперь рассмотрим оставшуюся часть выражения: $ \sin 60^\circ - \cos 30^\circ $.

Это табличные значения тригонометрических функций:

$ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Их разность равна $ \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 $.

Сложим результаты, полученные для обеих частей выражения:

$ 0 + 0 = 0 $.

Ответ: 0