Номер 14.23, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.23. Решите относительно переменной x неравенство:

1) $ \cos 2 \cdot (2x - 1) < 0; $

2) $ \cos 3 \cdot \cos 5 \cdot (x^2 - 1) < 0. $

1) $\cos2 \cdot (2x - 1) < 0$

Это линейное неравенство относительно переменной $x$. Выражение $\cos2$ является постоянным коэффициентом. Чтобы решить неравенство, нам нужно определить знак этой константы.

Аргумент косинуса, 2, задан в радианах. Для определения знака сравним его со значениями $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$.

Приближенные значения: $\pi \approx 3.14159$, следовательно, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.

Так как $\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, угол в 2 радиана находится во второй координатной четверти. В этой четверти функция косинуса принимает отрицательные значения, то есть $\cos2 < 0$.

Поскольку мы имеем произведение отрицательного числа $(\cos2)$ и выражения $(2x - 1)$, и это произведение должно быть меньше нуля, то выражение $(2x - 1)$ должно быть строго больше нуля.

Решим неравенство:

$2x - 1 > 0$

$2x > 1$

$x > \frac{1}{2}$

Таким образом, решение неравенства — это все значения $x$, которые больше $\frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

2) $\cos3 \cdot \cos5 \cdot (x^2 - 1) < 0$

Это квадратичное неравенство относительно переменной $x$. Коэффициент $\cos3 \cdot \cos5$ является константой. Определим знак этой константы, оценив знаки каждого множителя.

Определим знак $\cos3$. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\pi \approx 3.14$, то выполняется неравенство $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$. Угол в 3 радиана находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Следовательно, $\cos3 < 0$.

Определим знак $\cos5$. Так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$, то выполняется неравенство $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$. Угол в 5 радиан находится в четвертой четверти, где косинус положителен. Следовательно, $\cos5 > 0$.

Теперь определим знак всего коэффициента $\cos3 \cdot \cos5$. Это произведение отрицательного числа $(\cos3)$ и положительного $(\cos5)$, значит, результат отрицателен: $\cos3 \cdot \cos5 < 0$.

Разделим обе части исходного неравенства на отрицательное число $\cos3 \cdot \cos5$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 1 > 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Парабола $y = x^2 - 1$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, неравенство выполняется при $x < -1$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.