Номер 14.13, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.13. Постройте график, укажите период, точки максимума и минимума функции:

1) $f(x) = 0,5\sin2x;$

2) $f(x) = -2\cos\frac{x}{3};$

3) $f(x) = 1,5\sin0,2x;$

4) $f(x) = \cos x \operatorname{tg} x;$

5) $f(x) = \sin x \operatorname{ctg} x;$

6) $f(x) = |\operatorname{ctg} x|.$

1) $f(x) = 0,5\sin2x$

График данной функции получается из графика стандартной синусоиды $y=\sin x$ с помощью двух преобразований:

1. Сжатие графика по оси абсцисс (горизонтально) в 2 раза. Это приводит к уменьшению периода.

2. Сжатие графика по оси ординат (вертикально) в 2 раза (или на коэффициент 0,5). Это приводит к уменьшению амплитуды.

Период: Период функции вида $y = A\sin(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=2$, следовательно, период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Точки максимума: Максимальное значение функции равно $0,5$ (амплитуда). Оно достигается, когда $\sin(2x) = 1$.

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x_{max} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Точки минимума: Минимальное значение функции равно $-0,5$. Оно достигается, когда $\sin(2x) = -1$.

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x_{min} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Период функции равен $\pi$. Точки максимума имеют координаты $(\frac{\pi}{4} + \pi n; 0,5)$, точки минимума — $(-\frac{\pi}{4} + \pi n; -0,5)$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

2) $f(x) = -2\cos\frac{x}{3}$

График данной функции получается из графика стандартной косинусоиды $y=\cos x$ с помощью трех преобразований:

1. Растяжение графика по оси абсцисс (горизонтально) в 3 раза. Это приводит к увеличению периода.

2. Растяжение графика по оси ординат (вертикально) в 2 раза. Это приводит к увеличению амплитуды до 2.

3. Симметричное отражение графика относительно оси абсцисс из-за знака «минус».

Период: Период функции вида $y = A\cos(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае $k=\frac{1}{3}$, следовательно, период $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$.

Точки максимума: Максимальное значение функции равно $2$. Оно достигается, когда $\cos(\frac{x}{3}) = -1$ (из-за знака «минус» перед функцией).

$\frac{x}{3} = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x_{max} = 3\pi + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Точки минимума: Минимальное значение функции равно $-2$. Оно достигается, когда $\cos(\frac{x}{3}) = 1$.

$\frac{x}{3} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x_{min} = 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Период функции равен $6\pi$. Точки максимума имеют координаты $(3\pi + 6\pi n; 2)$, точки минимума — $(6\pi n; -2)$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

3) $f(x) = 1,5\sin0,2x$

График данной функции получается из графика $y=\sin x$ с помощью двух преобразований:

1. Растяжение графика по оси абсцисс (горизонтально) в $1/0,2 = 5$ раз.

2. Растяжение графика по оси ординат (вертикально) в 1,5 раза. Амплитуда становится равной 1,5.

Период: В данном случае $k=0,2$, следовательно, период $T = \frac{2\pi}{0,2} = 10\pi$.

Точки максимума: Максимальное значение функции равно $1,5$. Оно достигается, когда $\sin(0,2x) = 1$.

$0,2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies \frac{1}{5}x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x_{max} = \frac{5\pi}{2} + 10\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Точки минимума: Минимальное значение функции равно $-1,5$. Оно достигается, когда $\sin(0,2x) = -1$.

$0,2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies \frac{1}{5}x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x_{min} = -\frac{5\pi}{2} + 10\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Период функции равен $10\pi$. Точки максимума имеют координаты $(\frac{5\pi}{2} + 10\pi n; 1,5)$, точки минимума — $(-\frac{5\pi}{2} + 10\pi n; -1,5)$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

4) $f(x) = \cos x \text{tg} x$

Упростим выражение: $f(x) = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}$.

Область определения функции задается условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

На этой области определения функция тождественно равна $f(x) = \sin x$.

График: График функции представляет собой синусоиду $y=\sin x$, из которой удалены ("выколоты") точки с абсциссами $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Период: Наименьший положительный период функции $y=\sin x$ равен $2\pi$. Область определения также периодична, но с периодом $\pi$. Период функции $f(x)$ равен $2\pi$.

Точки максимума и минимума: Функция $y = \sin x$ достигает своих экстремумов в точках, где ее производная $\cos x$ равна нулю. Это точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$. Однако именно эти точки исключены из области определения функции $f(x)$. Таким образом, функция стремится к своим предельным значениям $1$ и $-1$, но никогда их не достигает. Следовательно, у функции нет точек максимума и минимума.

Ответ: График — синусоида $y=\sin x$ с выколотыми точками при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Период $T=2\pi$. Точек максимума и минимума нет.

5) $f(x) = \sin x \text{ctg} x$

Упростим выражение: $f(x) = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$.

Область определения функции задается условием $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

На этой области определения функция тождественно равна $f(x) = \cos x$.

График: График функции представляет собой косинусоиду $y=\cos x$, из которой удалены ("выколоты") точки с абсциссами $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Период: Наименьший положительный период функции $y=\cos x$ равен $2\pi$. Период функции $f(x)$ также равен $2\pi$.

Точки максимума и минимума: Функция $y = \cos x$ достигает своих экстремумов в точках, где ее производная $-\sin x$ равна нулю. Это точки $x = \pi k$. Однако именно эти точки исключены из области определения функции $f(x)$. Таким образом, функция стремится к своим предельным значениям $1$ и $-1$, но никогда их не достигает. Следовательно, у функции нет точек максимума и минимума.

Ответ: График — косинусоида $y=\cos x$ с выколотыми точками при $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Период $T=2\pi$. Точек максимума и минимума нет.

6) $f(x) = |\text{ctg} x|$

График: График функции $y=|\text{ctg} x|$ получается из графика $y=\text{ctg} x$. Та часть графика котангенса, которая находится ниже оси абсцисс (где $\text{ctg} x < 0$), симметрично отражается вверх относительно этой оси. Весь график функции будет находиться в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Вертикальные асимптоты $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ сохраняются.

Период: Период функции $y=\text{ctg} x$ равен $\pi$. Так как $|\text{ctg}(x+\pi)| = |\text{ctg} x|$, то период функции $f(x)=|\text{ctg} x|$ также равен $\pi$.

Точки максимума: Функция неограничена сверху, так как вблизи асимптот ее значения стремятся к $+\infty$. Следовательно, точек максимума у функции нет.

Точки минимума: Минимальное значение модуля — ноль. $f(x)=0$ тогда, когда $\text{ctg} x = 0$.

Это происходит в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Минимальное значение функции равно $y_{min}=0$.

Ответ: Период функции равен $\pi$. Точек максимума нет. Точки минимума имеют координаты $(\frac{\pi}{2} + \pi k; 0)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.