Номер 14.10, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.10.

1) $f(x) = 4\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{5}\right);$

2) $f(x) = -\cos\left(2x - \frac{2\pi}{3}\right);$

3) $f(x) = 0.5\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2} - \frac{2\pi}{5}\right).$

1) Для нахождения основного периода функции $f(x) = 4\cos(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{5})$ необходимо проанализировать ее структуру. Функция является преобразованием стандартной функции косинуса $y = \cos(x)$.

Общий вид подобных функций: $y = A\cos(kx + \phi)$, где $A$ — амплитуда, $k$ — коэффициент, влияющий на период, а $\phi$ — фазовый сдвиг. Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Период преобразованной функции $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В нашем случае аргумент косинуса равен $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{5}$, что можно записать как $\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{5}$. Отсюда видно, что коэффициент $k = \frac{1}{2}$.

Подставим значение $k$ в формулу для периода:

$T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = -\cos(2x - \frac{2\pi}{3})$. Это также функция косинуса вида $y = A\cos(kx + \phi)$.

Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Период $T$ для данной функции вычисляется по той же формуле: $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В выражении $2x - \frac{2\pi}{3}$ коэффициент при переменной $x$ равен $k=2$.

Вычислим период:

$T = \frac{2\pi}{|2|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

3) Проанализируем функцию $f(x) = 0,5\text{tg}(\frac{x}{2} - \frac{2\pi}{5})$. Эта функция является преобразованием стандартной функции тангенса $y = \text{tg}(x)$.

Общий вид подобных функций: $y = A\text{tg}(kx + \phi)$. Основной период функции $y = \text{tg}(x)$ равен $T_0 = \pi$. Период преобразованной функции $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$.

В нашем случае аргумент тангенса равен $\frac{x}{2} - \frac{2\pi}{5}$, то есть $\frac{1}{2}x - \frac{2\pi}{5}$. Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$.

Подставим значение $k$ в формулу для периода:

$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = \pi \cdot 2 = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.