Номер 14.7, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Исследуйте функции и постройте их графики (14.7–14.10):

14.7.1) $f(x) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right);$

2) $f(x) = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right);$

3) $f(x) = -\cos\left(x + \frac{2\pi}{5}\right).$

1) $f(x) = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$

Проведем исследование функции:

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений. Поскольку $-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 1$, то умножая на 2, получаем $-2 \le 2\sin(x - \frac{\pi}{4}) \le 2$. Следовательно, область значений функции $E(f) = [-2; 2]$.

3. Периодичность. Функция является периодической. Основной период синуса равен $2\pi$. Так как аргумент функции имеет вид $x+b$, основной период $T$ функции $f(x)$ равен $T = 2\pi$.

4. Четность и нечетность. $f(-x) = 2\sin(-x - \frac{\pi}{4}) = -2\sin(x + \frac{\pi}{4})$. Так как $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

5. Нули функции. Решим уравнение $f(x) = 0$:

$2\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 0 \implies \sin(x - \frac{\pi}{4}) = 0$

$x - \frac{\pi}{4} = \pi n, \quad n \in Z$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z$.

6. Точки экстремума.

Максимумы функции равны 2. Они достигаются, когда $\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x_{max} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z$.

Минимумы функции равны -2. Они достигаются, когда $\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -1$:

$x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x_{min} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z$.

7. Построение графика. График функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$ можно построить, исходя из графика функции $y = \sin x$ с помощью следующих преобразований:

- Растяжение вдоль оси OY в 2 раза (амплитуда становится равной 2).

- Сдвиг (параллельный перенос) вправо вдоль оси OX на $\frac{\pi}{4}$.

Ключевые точки на одном периоде $[\frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}]$:

- $x=\frac{\pi}{4}$, $y=0$ (начало периода, пересечение оси)

- $x=\frac{3\pi}{4}$, $y=2$ (максимум)

- $x=\frac{5\pi}{4}$, $y=0$ (пересечение оси)

- $x=\frac{7\pi}{4}$, $y=-2$ (минимум)

- $x=\frac{9\pi}{4}$, $y=0$ (конец периода, пересечение оси)

Ответ: Функция исследована, для построения графика необходимо выполнить растяжение графика $y=\sin x$ вдоль оси OY в 2 раза и сдвинуть его вправо на $\frac{\pi}{4}$.

2) $f(x) = 2\cos(x + \frac{\pi}{4})$

Проведем исследование функции:

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений. Поскольку $-1 \le \cos(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$, то умножая на 2, получаем $-2 \le 2\cos(x + \frac{\pi}{4}) \le 2$. Следовательно, область значений функции $E(f) = [-2; 2]$.

3. Периодичность. Функция является периодической. Основной период косинуса равен $2\pi$. Основной период $T$ функции $f(x)$ равен $T = 2\pi$.

4. Четность и нечетность. $f(-x) = 2\cos(-x + \frac{\pi}{4}) = 2\cos(x - \frac{\pi}{4})$. Так как $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

5. Нули функции. Решим уравнение $f(x) = 0$:

$2\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0 \implies \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0$

$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in Z$.

6. Точки экстремума.

Максимумы функции равны 2. Они достигаются, когда $\cos(x + \frac{\pi}{4}) = 1$:

$x + \frac{\pi}{4} = 2\pi n \implies x_{max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z$.

Минимумы функции равны -2. Они достигаются, когда $\cos(x + \frac{\pi}{4}) = -1$:

$x + \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi n \implies x_{min} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in Z$.

7. Построение графика. График функции $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{4})$ можно построить, исходя из графика функции $y = \cos x$ с помощью следующих преобразований:

- Растяжение вдоль оси OY в 2 раза (амплитуда становится равной 2).

- Сдвиг (параллельный перенос) влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{4}$.

Ключевые точки на одном периоде $[-\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$:

- $x=-\frac{\pi}{4}$, $y=2$ (начало периода, максимум)

- $x=\frac{\pi}{4}$, $y=0$ (пересечение оси)

- $x=\frac{3\pi}{4}$, $y=-2$ (минимум)

- $x=\frac{5\pi}{4}$, $y=0$ (пересечение оси)

- $x=\frac{7\pi}{4}$, $y=2$ (конец периода, максимум)

Ответ: Функция исследована, для построения графика необходимо выполнить растяжение графика $y=\cos x$ вдоль оси OY в 2 раза и сдвинуть его влево на $\frac{\pi}{4}$.

3) $f(x) = -\cos(x + \frac{2\pi}{5})$

Проведем исследование функции:

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений. Поскольку $-1 \le \cos(x + \frac{2\pi}{5}) \le 1$, то умножая на -1, получаем $-1 \le -\cos(x + \frac{2\pi}{5}) \le 1$. Следовательно, область значений функции $E(f) = [-1; 1]$.

3. Периодичность. Функция является периодической. Основной период косинуса равен $2\pi$. Основной период $T$ функции $f(x)$ равен $T = 2\pi$.

4. Четность и нечетность. $f(-x) = -\cos(-x + \frac{2\pi}{5}) = -\cos(x - \frac{2\pi}{5})$. Так как $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

5. Нули функции. Решим уравнение $f(x) = 0$:

$-\cos(x + \frac{2\pi}{5}) = 0 \implies \cos(x + \frac{2\pi}{5}) = 0$

$x + \frac{2\pi}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in Z$

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5} + \pi n = \frac{\pi}{10} + \pi n, \quad n \in Z$.

6. Точки экстремума.

Максимумы функции равны 1. Они достигаются, когда $-\cos(x + \frac{2\pi}{5}) = 1 \implies \cos(x + \frac{2\pi}{5}) = -1$:

$x + \frac{2\pi}{5} = \pi + 2\pi n \implies x_{max} = \frac{3\pi}{5} + 2\pi n, \quad n \in Z$.

Минимумы функции равны -1. Они достигаются, когда $-\cos(x + \frac{2\pi}{5}) = -1 \implies \cos(x + \frac{2\pi}{5}) = 1$:

$x + \frac{2\pi}{5} = 2\pi n \implies x_{min} = -\frac{2\pi}{5} + 2\pi n, \quad n \in Z$.

7. Построение графика. График функции $y = -\cos(x + \frac{2\pi}{5})$ можно построить, исходя из графика функции $y = \cos x$ с помощью следующих преобразований:

- Симметричное отражение относительно оси OX (получаем $y=-\cos x$).

- Сдвиг (параллельный перенос) влево вдоль оси OX на $\frac{2\pi}{5}$.

Ключевые точки на одном периоде $[-\frac{2\pi}{5}, \frac{8\pi}{5}]$:

- $x=-\frac{2\pi}{5}$, $y=-1$ (начало периода, минимум)

- $x=\frac{\pi}{10}$, $y=0$ (пересечение оси)

- $x=\frac{3\pi}{5}$, $y=1$ (максимум)

- $x=\frac{11\pi}{10}$, $y=0$ (пересечение оси)

- $x=\frac{8\pi}{5}$, $y=-1$ (конец периода, минимум)

Ответ: Функция исследована, для построения графика необходимо график $y=\cos x$ отразить симметрично относительно оси OX и сдвинуть его влево на $\frac{2\pi}{5}$.