Номер 14.5, страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.5. Постройте график, запишите нули и промежутки знакопостоянства функции:

1) $f(x) = - \sin 2x;$

2) $f(x) = 2\cos \frac{x}{4};$

3) $f(x) = 2\text{tg}\frac{x}{3};$

4) $f(x) = -\text{ctg}\frac{x}{2}.$

1) f(x) = -sin(2x)

Построение графика:

График функции $f(x) = -\sin(2x)$ можно получить из графика функции $y = \sin(x)$ с помощью следующих преобразований:

1. Сжатие графика по оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Это преобразование изменяет период функции. Исходный период функции синуса равен $2\pi$, новый период будет $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Получаем график функции $y = \sin(2x)$.

2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси абсцисс. Это преобразование изменяет знак функции. Получаем искомый график $y = -\sin(2x)$. Амплитуда колебаний равна $1$, область значений функции $E(f) = [-1, 1]$.

Нули функции:

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$.

$-\sin(2x) = 0$

$\sin(2x) = 0$

Уравнение $\sin(u) = 0$ имеет решения $u = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = \pi n$

$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:

Найдем, где функция положительна ($f(x) > 0$):

$-\sin(2x) > 0 \implies \sin(2x) < 0$.

Неравенство $\sin(u) < 0$ выполняется для $u \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\pi + 2\pi k < 2x < 2\pi + 2\pi k$

$\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \pi + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем, где функция отрицательна ($f(x) < 0$):

$-\sin(2x) < 0 \implies \sin(2x) > 0$.

Неравенство $\sin(u) > 0$ выполняется для $u \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2\pi k < 2x < \pi + 2\pi k$

$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: нули функции: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$;

$f(x) > 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k), k \in \mathbb{Z}$;

$f(x) < 0$ при $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2) f(x) = 2cos(x/4)

Построение графика:

График функции $f(x) = 2\cos(\frac{x}{4})$ можно получить из графика функции $y = \cos(x)$ с помощью следующих преобразований:

1. Растяжение графика по оси абсцисс (оси Ox) в 4 раза. Период функции станет $T = \frac{2\pi}{1/4} = 8\pi$. Получаем график функции $y = \cos(\frac{x}{4})$.

2. Растяжение полученного графика вдоль оси ординат (оси Oy) в 2 раза. Амплитуда колебаний станет равной $2$. Получаем искомый график $y = 2\cos(\frac{x}{4})$. Область значений функции $E(f) = [-2, 2]$.

Нули функции:

$2\cos(\frac{x}{4}) = 0$

$\cos(\frac{x}{4}) = 0$

Уравнение $\cos(u) = 0$ имеет решения $u = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

$x = 4(\frac{\pi}{2} + \pi n) = 2\pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:

$f(x) > 0 \implies 2\cos(\frac{x}{4}) > 0 \implies \cos(\frac{x}{4}) > 0$.

Неравенство $\cos(u) > 0$ выполняется для $u \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \frac{x}{4} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$-2\pi + 8\pi k < x < 2\pi + 8\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$f(x) < 0 \implies 2\cos(\frac{x}{4}) < 0 \implies \cos(\frac{x}{4}) < 0$.

Неравенство $\cos(u) < 0$ выполняется для $u \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \frac{x}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

$2\pi + 8\pi k < x < 6\pi + 8\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: нули функции: $x = 2\pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

$f(x) > 0$ при $x \in (-2\pi + 8\pi k, 2\pi + 8\pi k), k \in \mathbb{Z}$;

$f(x) < 0$ при $x \in (2\pi + 8\pi k, 6\pi + 8\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

3) f(x) = 2tg(x/3)

Построение графика:

График функции $f(x) = 2\operatorname{tg}(\frac{x}{3})$ получаем из графика $y = \operatorname{tg}(x)$:

1. Растяжение графика по оси Ox в 3 раза. Период функции станет $T = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi$. Получаем $y = \operatorname{tg}(\frac{x}{3})$. Вертикальные асимптоты смещаются в точки $x = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Растяжение графика вдоль оси Oy в 2 раза. Получаем искомый график $y = 2\operatorname{tg}(\frac{x}{3})$.

Область определения функции $D(f): x \neq \frac{3\pi}{2} + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Нули функции:

$2\operatorname{tg}(\frac{x}{3}) = 0 \implies \operatorname{tg}(\frac{x}{3}) = 0$.

$\frac{x}{3} = \pi n$

$x = 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:

$f(x) > 0 \implies \operatorname{tg}(\frac{x}{3}) > 0$.

Неравенство $\operatorname{tg}(u) > 0$ выполняется для $u \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\pi k < \frac{x}{3} < \frac{\pi}{2} + \pi k$

$3\pi k < x < \frac{3\pi}{2} + 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$f(x) < 0 \implies \operatorname{tg}(\frac{x}{3}) < 0$.

Неравенство $\operatorname{tg}(u) < 0$ выполняется для $u \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{3} < \pi k$

$-\frac{3\pi}{2} + 3\pi k < x < 3\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: нули функции: $x = 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

$f(x) > 0$ при $x \in (3\pi k, \frac{3\pi}{2} + 3\pi k), k \in \mathbb{Z}$;

$f(x) < 0$ при $x \in (-\frac{3\pi}{2} + 3\pi k, 3\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

4) f(x) = -ctg(x/2)

Построение графика:

График функции $f(x) = -\operatorname{ctg}(\frac{x}{2})$ получаем из графика $y = \operatorname{ctg}(x)$:

1. Растяжение графика по оси Ox в 2 раза. Период функции станет $T = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$. Получаем $y = \operatorname{ctg}(\frac{x}{2})$. Вертикальные асимптоты смещаются в точки $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Симметричное отражение графика относительно оси Ox. Получаем искомый график $y = -\operatorname{ctg}(\frac{x}{2})$. Исходная убывающая функция становится возрастающей на каждом интервале области определения.

Область определения функции $D(f): x \neq 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Нули функции:

$-\operatorname{ctg}(\frac{x}{2}) = 0 \implies \operatorname{ctg}(\frac{x}{2}) = 0$.

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Промежутки знакопостоянства:

$f(x) > 0 \implies -\operatorname{ctg}(\frac{x}{2}) > 0 \implies \operatorname{ctg}(\frac{x}{2}) < 0$.

Неравенство $\operatorname{ctg}(u) < 0$ выполняется для $u \in (\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{2} < \pi + \pi k$

$\pi + 2\pi k < x < 2\pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$f(x) < 0 \implies -\operatorname{ctg}(\frac{x}{2}) < 0 \implies \operatorname{ctg}(\frac{x}{2}) > 0$.

Неравенство $\operatorname{ctg}(u) > 0$ выполняется для $u \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2} + \pi k$

$2\pi k < x < \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: нули функции: $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;

$f(x) > 0$ при $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$;

$f(x) < 0$ при $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.