Номер 13.21, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.21. Упростите выражение:

1)

$\cos\beta - \sin\beta - \sqrt{2} \sin(45^\circ - \beta)$;

2)

$\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta - 2\cos(30^\circ - \beta).$

1) Для упрощения выражения $\cos\beta - \sin\beta - \sqrt{2} \sin(45^\circ - \beta)$ воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \gamma) = \sin\alpha\cos\gamma - \cos\alpha\sin\gamma$.

Применим эту формулу к члену $\sin(45^\circ - \beta)$:

$\sin(45^\circ - \beta) = \sin(45^\circ)\cos\beta - \cos(45^\circ)\sin\beta$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим эти значения:

$\sin(45^\circ - \beta) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\beta - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\beta = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta - \sin\beta)$

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:

$\cos\beta - \sin\beta - \sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\beta - \sin\beta)\right)$

Упростим его:

$\cos\beta - \sin\beta - \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2}(\cos\beta - \sin\beta) = \cos\beta - \sin\beta - \frac{2}{2}(\cos\beta - \sin\beta)$

$\cos\beta - \sin\beta - (\cos\beta - \sin\beta) = \cos\beta - \sin\beta - \cos\beta + \sin\beta = 0$

Ответ: $0$

2) Для упрощения выражения $\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta - 2\cos(30^\circ - \beta)$ преобразуем первую часть выражения, $\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta$, методом введения вспомогательного угла.

Вынесем за скобки множитель $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$:

$\sqrt{3} \cos\beta + \sin\beta = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\beta + \frac{1}{2}\sin\beta\right)$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(30^\circ)$ и $\frac{1}{2} = \sin(30^\circ)$. Подставим эти значения в скобки:

$2(\cos(30^\circ)\cos\beta + \sin(30^\circ)\sin\beta)$

В скобках получилась формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \gamma) = \cos\alpha\cos\gamma + \sin\alpha\sin\gamma$.

Таким образом, $2(\cos(30^\circ)\cos\beta + \sin(30^\circ)\sin\beta) = 2\cos(30^\circ - \beta)$.

Теперь подставим это преобразованное выражение в исходное:

$2\cos(30^\circ - \beta) - 2\cos(30^\circ - \beta) = 0$

Ответ: $0$