Номер 13.17, страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.17. Исследуйте на четность и найдите период функции:

1) $y = 3\text{tg}x + 2\sin2x;$

2) $y = -2\text{ctg}(3x - 2) + x;$

3) $y = -5\text{tg}(0,2x + 4).$

1) $y = 3\text{tg}x + 2\sin(2x)$

Исследование на четность:

Область определения функции $D(y)$ находится из условия, что аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом, $D(y): x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Данная область определения симметрична относительно начала координат (если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ принадлежит ей).

Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = 3\text{tg}(-x) + 2\sin(2(-x)) = 3\text{tg}(-x) + 2\sin(-2x)$.

Поскольку функции синус и тангенс являются нечетными, то есть $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ и $\text{tg}(-\alpha) = -\text{tg}\alpha$, получаем:

$y(-x) = 3(-\text{tg}x) + 2(-\sin(2x)) = -3\text{tg}x - 2\sin(2x) = -(3\text{tg}x + 2\sin(2x)) = -y(x)$.

Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

Нахождение периода:

Функция является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = 3\text{tg}x$ и $f_2(x) = 2\sin(2x)$.

Основной период функции $f_1(x) = 3\text{tg}x$ совпадает с периодом $\text{tg}x$ и равен $T_1 = \pi$.

Основной период функции $f_2(x) = 2\sin(2x)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0 = 2\pi$ - период синуса, а $k=2$. Получаем $T_2 = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Период суммы двух функций с одинаковым периодом $\pi$ также равен $\pi$.

Ответ: функция нечетная, период равен $\pi$.

2) $y = -2\text{ctg}(3x - 2) + x$

Исследование на четность:

Область определения функции $D(y)$ задается условием $3x - 2 \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x \neq \frac{2+\pi k}{3}$.

Данная область определения не является симметричной относительно начала координат. Например, при $k=0$, точка $x_0 = \frac{2}{3}$ не принадлежит области определения. При этом точка $-x_0 = -\frac{2}{3}$ принадлежит области определения, так как $3(-\frac{2}{3})-2 = -4$, и $-4 \neq \pi k$ ни для какого целого $k$.

Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).

Нахождение периода:

Функция представляет собой сумму двух слагаемых: периодической функции $f_1(x) = -2\text{ctg}(3x - 2)$ и непериодической функции $f_2(x) = x$.

Период функции $f_1(x)$ равен $T_1 = \frac{\pi}{|3|} = \frac{\pi}{3}$.

Функция $f_2(x) = x$ не является периодической, так как не существует такого числа $T \neq 0$, чтобы для всех $x$ выполнялось равенство $x+T=x$.

Сумма периодической и непериодической функции (не являющейся константой) является непериодической функцией.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной; не является периодической.

3) $y = -5\text{tg}(0,2x + 4)$

Исследование на четность:

Область определения $D(y)$ находится из условия $0,2x + 4 \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$0,2x \neq \frac{\pi}{2} - 4 + \pi k$

$x \neq \frac{\frac{\pi}{2} - 4 + \pi k}{0,2} = 5(\frac{\pi}{2} - 4 + \pi k) = \frac{5\pi}{2} - 20 + 5\pi k$.

Из-за сдвига аргумента на 4 ($0,2x + 4 = 0,2(x+20)$) область определения не является симметричной относительно начала координат. Например, при $k=0$ точка $x_0 = \frac{5\pi}{2} - 20$ исключается из области определения, а точка $-x_0 = 20 - \frac{5\pi}{2}$ в нее входит.

Так как область определения несимметрична, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

Нахождение периода:

Для функции вида $y = A\text{tg}(kx+b)$ основной период $T$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ — основной период функции $\text{tg}x$, равный $\pi$.

В данном случае коэффициент при $x$ равен $k = 0,2$.

Следовательно, период функции равен $T = \frac{\pi}{|0,2|} = \frac{\pi}{1/5} = 5\pi$.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной, период равен $5\pi$.