Номер 13.13, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.13. Расположите в порядке возрастания значений выражения:

1) $tg(-\frac{6\pi}{13})$, $tg(-\frac{\pi}{8})$, $tg\frac{3\pi}{8}$, и $tg\frac{9\pi}{20}$;

2) $ctg\frac{9\pi}{10}$, $ctg\frac{7\pi}{15}$, $ctg\frac{3\pi}{11}$ и $ctg\frac{5\pi}{13}$.

1) Для того чтобы расположить значения выражений $\text{tg}(-\frac{6\pi}{13})$, $\text{tg}(-\frac{\pi}{8})$, $\text{tg}\frac{3\pi}{8}$ и $\text{tg}\frac{9\pi}{20}$ в порядке возрастания, мы воспользуемся свойством функции тангенса. Функция $y = \text{tg}(x)$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Сначала проверим, принадлежат ли все аргументы этому интервалу.

• $-\frac{\pi}{2} < -\frac{6\pi}{13} < 0$, так как $-\frac{1}{2} = -\frac{6.5}{13}$, и, следовательно, $-\frac{6.5}{13} < -\frac{6}{13}$. Значение $\text{tg}(-\frac{6\pi}{13})$ отрицательно.
• $-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{8} < 0$, так как $-\frac{1}{2} = -\frac{4}{8}$, и, следовательно, $-\frac{4}{8} < -\frac{1}{8}$. Значение $\text{tg}(-\frac{\pi}{8})$ отрицательно.
• $0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$, так как $\frac{3}{8} < \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. Значение $\text{tg}\frac{3\pi}{8}$ положительно.
• $0 < \frac{9\pi}{20} < \frac{\pi}{2}$, так как $\frac{9}{20} < \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$. Значение $\text{tg}\frac{9\pi}{20}$ положительно.

Все аргументы находятся в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, где тангенс возрастает. Следовательно, чем больше аргумент, тем больше значение функции. Расположим аргументы в порядке возрастания:

Сравним отрицательные аргументы $-\frac{6\pi}{13}$ и $-\frac{\pi}{8}$. Для этого сравним дроби $\frac{6}{13}$ и $\frac{1}{8}$. Приведя к общему знаменателю 104, получим $\frac{48}{104}$ и $\frac{13}{104}$. Так как $\frac{48}{104} > \frac{13}{104}$, то $\frac{6}{13} > \frac{1}{8}$, а значит $-\frac{6\pi}{13} < -\frac{\pi}{8}$.

Сравним положительные аргументы $\frac{3\pi}{8}$ и $\frac{9\pi}{20}$. Приведя к общему знаменателю 40, получим $\frac{15}{40}$ и $\frac{18}{40}$. Так как $\frac{15}{40} < \frac{18}{40}$, то $\frac{3\pi}{8} < \frac{9\pi}{20}$.

Объединяя результаты, получаем порядок возрастания для аргументов: $-\frac{6\pi}{13} < -\frac{\pi}{8} < \frac{3\pi}{8} < \frac{9\pi}{20}$.

Поскольку функция $y = \text{tg}(x)$ возрастает на всем этом промежутке, значения тангенсов будут расположены в том же порядке.

Ответ: $\text{tg}(-\frac{6\pi}{13})$, $\text{tg}(-\frac{\pi}{8})$, $\text{tg}\frac{3\pi}{8}$, $\text{tg}\frac{9\pi}{20}$.

2) Для того чтобы расположить значения выражений $\text{ctg}\frac{9\pi}{10}$, $\text{ctg}\frac{7\pi}{15}$, $\text{ctg}\frac{3\pi}{11}$ и $\text{ctg}\frac{5\pi}{13}$ в порядке возрастания, мы воспользуемся свойством функции котангенса. Функция $y = \text{ctg}(x)$ является убывающей на интервале $(0, \pi)$.

Проверим, что все аргументы принадлежат этому интервалу: $\frac{9\pi}{10}$, $\frac{7\pi}{15}$, $\frac{3\pi}{11}$, $\frac{5\pi}{13}$ — все эти значения очевидно больше 0 и меньше $\pi$.

Определим знаки значений:

• Аргумент $\frac{9\pi}{10}$ находится во второй четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{9\pi}{10} < \pi$. В этой четверти котангенс отрицателен. Следовательно, $\text{ctg}\frac{9\pi}{10}$ — наименьшее из всех значений.
• Аргументы $\frac{7\pi}{15}$, $\frac{3\pi}{11}$ и $\frac{5\pi}{13}$ находятся в первой четверти, так как все они меньше $\frac{\pi}{2}$ ($\frac{7}{15} < \frac{1}{2}$, $\frac{3}{11} < \frac{1}{2}$, $\frac{5}{13} < \frac{1}{2}$). В этой четверти котангенс положителен.

Теперь нам нужно сравнить положительные значения $\text{ctg}\frac{7\pi}{15}$, $\text{ctg}\frac{3\pi}{11}$ и $\text{ctg}\frac{5\pi}{13}$. Поскольку функция котангенса убывает на $(0, \frac{\pi}{2})$, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Расположим аргументы в порядке возрастания:

Сравним дроби $\frac{3}{11}$, $\frac{5}{13}$ и $\frac{7}{15}$:

• $\frac{3}{11}$ и $\frac{5}{13}$: $3 \cdot 13 = 39$, $5 \cdot 11 = 55$. Так как $39 < 55$, то $\frac{3}{11} < \frac{5}{13}$.
• $\frac{5}{13}$ и $\frac{7}{15}$: $5 \cdot 15 = 75$, $7 \cdot 13 = 91$. Так как $75 < 91$, то $\frac{5}{13} < \frac{7}{15}$.

Так как котангенс — убывающая функция, порядок значений будет обратным: $\text{ctg}\frac{3\pi}{11} > \text{ctg}\frac{5\pi}{13} > \text{ctg}\frac{7\pi}{15}$. Значит, в порядке возрастания эти значения расположатся так: $\text{ctg}\frac{7\pi}{15} < \text{ctg}\frac{5\pi}{13} < \text{ctg}\frac{3\pi}{11}$.

Учитывая отрицательное значение $\text{ctg}\frac{9\pi}{10}$, получаем итоговый порядок возрастания.

Ответ: $\text{ctg}\frac{9\pi}{10}$, $\text{ctg}\frac{7\pi}{15}$, $\text{ctg}\frac{5\pi}{13}$, $\text{ctg}\frac{3\pi}{11}$.