Номер 13.12, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.12. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y = 1 + 2\text{tg}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$;

2) $y = 2 - \text{ctg}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$;

3) $y = 1 - \text{tg}\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = 1 + 2\text{tg}(x - \frac{\pi}{3})$ исследуем знак ее производной.

Сначала найдем область определения функции. Функция тангенс $\text{tg}(u)$ определена при $u \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае, $u = x - \frac{\pi}{3}$, поэтому:

$x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$

$x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi k$

$x \neq \frac{3\pi + 2\pi}{6} + \pi k$

$x \neq \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Область определения функции состоит из интервалов $(-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем производную функции $y$:

$y' = (1 + 2\text{tg}(x - \frac{\pi}{3}))' = 2 \cdot (\text{tg}(x - \frac{\pi}{3}))' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{3})} \cdot (x - \frac{\pi}{3})' = \frac{2}{\cos^2(x - \frac{\pi}{3})}$.

Знаменатель $\cos^2(x - \frac{\pi}{3})$ всегда положителен в области определения функции, а числитель $2$ также положителен. Следовательно, $y' > 0$ на всей области определения.

Таким образом, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения. Промежутков убывания у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; промежутков убывания нет.

2) Для функции $y = 2 - \text{ctg}(x + \frac{\pi}{3})$ найдем промежутки монотонности.

Область определения функции котангенс $\text{ctg}(u)$ задается условием $u \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае, $u = x + \frac{\pi}{3}$, поэтому:

$x + \frac{\pi}{3} \neq \pi k$

$x \neq -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Область определения функции состоит из интервалов $(-\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем производную функции $y$:

$y' = (2 - \text{ctg}(x + \frac{\pi}{3}))' = -(\text{ctg}(x + \frac{\pi}{3}))' = -(-\frac{1}{\sin^2(x + \frac{\pi}{3})}) \cdot (x + \frac{\pi}{3})' = \frac{1}{\sin^2(x + \frac{\pi}{3})}$.

Знаменатель $\sin^2(x + \frac{\pi}{3})$ всегда положителен в области определения функции, а числитель $1$ также положителен. Следовательно, $y' > 0$ на всей области определения.

Таким образом, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения. Промежутков убывания у функции нет.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\frac{\pi}{3} + \pi k, \frac{2\pi}{3} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; промежутков убывания нет.

3) Для функции $y = 1 - \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$ найдем промежутки монотонности.

Область определения функции тангенс $\text{tg}(u)$ задается условием $u \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае, $u = x - \frac{\pi}{4}$, поэтому:

$x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$

$x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Область определения функции состоит из интервалов $(-\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем производную функции $y$:

$y' = (1 - \text{tg}(x - \frac{\pi}{4}))' = -(\text{tg}(x - \frac{\pi}{4}))' = -\frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})} \cdot (x - \frac{\pi}{4})' = -\frac{1}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$.

Знаменатель $\cos^2(x - \frac{\pi}{4})$ всегда положителен в области определения функции, а числитель равен $-1$. Следовательно, $y' < 0$ на всей области определения.

Таким образом, функция убывает на каждом из интервалов своей области определения. Промежутков возрастания у функции нет.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; промежутков возрастания нет.