Номер 13.5, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.5. Найдите наименьший положительный период:

1) $y = \operatorname{tg}x + \sin3x;$

2) $y = \operatorname{ctg}2x - 2\cos x;$

3) $y = \operatorname{tg}\frac{1}{3}x + 1.$

1) Чтобы найти наименьший положительный период функции $y = \tg x + \sin 3x$, нужно найти наименьшие положительные периоды для каждого слагаемого, а затем найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Функция $f(x) = \tg x$ имеет наименьший положительный период $T_1 = \pi$.

Для функции $g(x) = \sin(kx)$ наименьший положительный период вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В нашем случае для $g(x) = \sin 3x$ имеем $k=3$, следовательно, период $T_2 = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь найдем наименьшее общее кратное периодов $T_1$ и $T_2$: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\pi, \frac{2\pi}{3})$. Чтобы найти НОК, мы ищем наименьшие натуральные числа $n$ и $m$, для которых выполняется равенство $n \cdot T_1 = m \cdot T_2 = T$.

$n \cdot \pi = m \cdot \frac{2\pi}{3}$

Разделив обе части на $\pi$, получим: $n = \frac{2m}{3}$

Наименьшие натуральные числа, удовлетворяющие этому уравнению, — это $m=3$ и $n=2$.

Тогда наименьший положительный период $T = n \cdot T_1 = 2 \cdot \pi = 2\pi$.

Проверка через $m$: $T = m \cdot T_2 = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

2) Для функции $y = \ctg 2x - 2\cos x$ действуем аналогично. Функция представляет собой разность двух периодических функций.

Для функции $f(x) = \ctg 2x$ наименьший положительный период вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$. Здесь $k=2$, поэтому $T_1 = \frac{\pi}{2}$.

Для функции $g(x) = -2\cos x$ период такой же, как и у функции $\cos x$, так как умножение на константу не влияет на период. Период $T_2 = 2\pi$.

Находим наименьшее общее кратное периодов $T_1$ и $T_2$: $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(\frac{\pi}{2}, 2\pi)$.

Ищем наименьшие натуральные числа $n$ и $m$, для которых $n \cdot T_1 = m \cdot T_2 = T$.

$n \cdot \frac{\pi}{2} = m \cdot 2\pi$

Разделив обе части на $\pi$, получим: $\frac{n}{2} = 2m$, или $n = 4m$.

Наименьшие натуральные числа, удовлетворяющие этому уравнению, — это $m=1$ и $n=4$.

Тогда наименьший положительный период $T = m \cdot T_2 = 1 \cdot 2\pi = 2\pi$.

Проверка через $n$: $T = n \cdot T_1 = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

3) Функция $y = \tg \frac{1}{3}x + 1$ получена из функции $f(x) = \tg \frac{1}{3}x$ сдвигом вверх на 1. Сдвиг вдоль оси ординат не влияет на период функции.

Следовательно, период функции $y$ равен периоду функции $f(x) = \tg \frac{1}{3}x$.

Наименьший положительный период функции $\tg(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{\pi}{|k|}$.

В нашем случае $k = \frac{1}{3}$.

$T = \frac{\pi}{|\frac{1}{3}|} = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi$.

Ответ: $3\pi$.