Номер 13.2, страница 106, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.2. Докажите, что является нечетной функция $y = f(x):$

1) $f(x) = x^3 + \text{ctg}2x;$

2) $f(x) = x^5\text{tg}^2x;$

3) $f(x) = (2 - x^2)\text{tg}^3x;$

4) $f(x) = 2x - \text{tg}^3x;$

5) $f(x) = \frac{\text{ctg}5x}{x^4 - 4} - x;$

6) $f(x) = \frac{\text{tg}6x}{x^2 - 9} + \sin3x.$

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).

2. Для любого $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим эти условия для каждой из заданных функций.

1) $f(x) = x^3 + \operatorname{ctg}2x$

Область определения $D(f)$ задается условием существования котангенса: $\sin(2x) \neq 0$, что означает $2x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом, $x \neq \frac{\pi k}{2}$. Эта область определения симметрична относительно нуля, поскольку если $x_0 \neq \frac{\pi k}{2}$, то и $-x_0 \neq \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m$.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 + \operatorname{ctg}(2(-x)) = -x^3 + \operatorname{ctg}(-2x)$.

Используем свойства нечетности степенной функции с нечетным показателем ($(-x)^3 = -x^3$) и функции котангенс ($\operatorname{ctg}(-z) = -\operatorname{ctg}z$):

$f(-x) = -x^3 - \operatorname{ctg}(2x) = -(x^3 + \operatorname{ctg}(2x)) = -f(x)$.

Оба условия выполняются, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $f(x) = x^5\operatorname{tg}^2x$

Область определения $D(f)$ задается условием существования тангенса: $\cos(x) \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 \operatorname{tg}^2(-x) = -x^5 (\operatorname{tg}(-x))^2$.

Так как тангенс — нечетная функция ($\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}x$), то его квадрат — четная функция: $(\operatorname{tg}(-x))^2 = (-\operatorname{tg}x)^2 = \operatorname{tg}^2x$. Степенная функция $x^5$ является нечетной.

$f(-x) = -x^5 \operatorname{tg}^2x = -f(x)$.

Функция является произведением нечетной функции ($x^5$) и четной ($\operatorname{tg}^2x$), поэтому она нечетная. Оба условия выполняются.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) $f(x) = (2 - x^2)\operatorname{tg}^3x$

Область определения $D(f)$ такая же, как в предыдущем пункте: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (2 - (-x)^2)\operatorname{tg}^3(-x) = (2 - x^2) (\operatorname{tg}(-x))^3$.

Множитель $(2 - x^2)$ является четной функцией. Функция $\operatorname{tg}^3x$ является нечетной, так как $\operatorname{tg}^3(-x) = (\operatorname{tg}(-x))^3 = (-\operatorname{tg}x)^3 = -\operatorname{tg}^3x$.

$f(-x) = (2 - x^2)(-\operatorname{tg}^3x) = -(2 - x^2)\operatorname{tg}^3x = -f(x)$.

Функция является произведением четной и нечетной функций, следовательно, она нечетная. Оба условия выполняются.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) $f(x) = 2x - \operatorname{tg}^3x$

Область определения $D(f)$ та же, что и в пунктах 2 и 3: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 2(-x) - \operatorname{tg}^3(-x) = -2x - (-\operatorname{tg}^3x) = -2x + \operatorname{tg}^3x = -(2x - \operatorname{tg}^3x) = -f(x)$.

Функция представляет собой разность двух нечетных функций ($2x$ и $\operatorname{tg}^3x$), поэтому она является нечетной. Оба условия выполняются.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5) $f(x) = \frac{\operatorname{ctg}5x}{x^4 - 4} - x$

Область определения $D(f)$ задается условиями: $x^4 - 4 \neq 0$ (то есть $x \neq \pm\sqrt{2}$) и $\sin(5x) \neq 0$ (то есть $x \neq \frac{\pi k}{5}$ для $k \in \mathbb{Z}$). Эта область определения симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\operatorname{ctg}(5(-x))}{(-x)^4 - 4} - (-x) = \frac{-\operatorname{ctg}(5x)}{x^4 - 4} + x = - \left( \frac{\operatorname{ctg}(5x)}{x^4 - 4} - x \right) = -f(x)$.

Здесь мы использовали, что $\operatorname{ctg}(-5x) = -\operatorname{ctg}(5x)$ (нечетная функция), а $x^4-4$ — четная функция. Их частное — нечетная функция. Функция $y=x$ также нечетная. Разность двух нечетных функций является нечетной функцией. Оба условия выполняются.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6) $f(x) = \frac{\operatorname{tg}6x}{x^2 - 9} + \sin 3x$

Область определения $D(f)$ задается условиями: $x^2 - 9 \neq 0$ (то есть $x \neq \pm3$) и $\cos(6x) \neq 0$ (то есть $x \neq \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{6}$ для $k \in \mathbb{Z}$). Эта область определения симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\operatorname{tg}(6(-x))}{(-x)^2 - 9} + \sin(3(-x)) = \frac{-\operatorname{tg}(6x)}{x^2 - 9} - \sin(3x) = - \left( \frac{\operatorname{tg}(6x)}{x^2 - 9} + \sin(3x) \right) = -f(x)$.

Первое слагаемое является частным нечетной функции ($\operatorname{tg}6x$) и четной ($x^2-9$), то есть является нечетной функцией. Второе слагаемое ($\sin3x$) также является нечетной функцией. Сумма двух нечетных функций является нечетной функцией. Оба условия выполняются.

Ответ: Что и требовалось доказать.