Номер 12.23, страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.23. Докажите тождество:

1) $\sin^2x - \cos^2x - \sin^4x + \cos^4x = 0;$

2) $(1 + \cos\alpha)(1 + \operatorname{tg}\alpha) - 1 - \sin\alpha - \cos\alpha = \operatorname{tg}\alpha;$

3) $(\operatorname{tg}x + 2\operatorname{ctg}x)^2 - (\operatorname{tg}x - 2\operatorname{ctg}x)^2 = 8.$

1) Для доказательства тождества $ \sin^2x - \cos^2x - \sin^4x + \cos^4x = 0 $ преобразуем его левую часть.

Сгруппируем слагаемые:

$ (\cos^4x - \sin^4x) - (\cos^2x - \sin^2x) $

Выражение $ \cos^4x - \sin^4x $ можно разложить по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \cos^4x - \sin^4x = (\cos^2x - \sin^2x)(\cos^2x + \sin^2x) $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $. Тогда:

$ (\cos^2x - \sin^2x)(\cos^2x + \sin^2x) = (\cos^2x - \sin^2x) \cdot 1 = \cos^2x - \sin^2x $

Подставим полученное выражение обратно в сгруппированное выражение:

$ (\cos^2x - \sin^2x) - (\cos^2x - \sin^2x) = 0 $

Левая часть тождества равна нулю, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $ (1 + \cos\alpha)(1 + \tg\alpha) - 1 - \sin\alpha - \cos\alpha = \tg\alpha $ преобразуем его левую часть.

Раскроем скобки в произведении $ (1 + \cos\alpha)(1 + \tg\alpha) $:

$ 1 \cdot 1 + 1 \cdot \tg\alpha + \cos\alpha \cdot 1 + \cos\alpha \cdot \tg\alpha = 1 + \tg\alpha + \cos\alpha + \cos\alpha \cdot \tg\alpha $

Используем определение тангенса $ \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $. Тогда:

$ \cos\alpha \cdot \tg\alpha = \cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin\alpha $

Подставим это в раскрытое выражение:

$ 1 + \tg\alpha + \cos\alpha + \sin\alpha $

Теперь подставим это в исходное выражение левой части:

$ (1 + \tg\alpha + \cos\alpha + \sin\alpha) - 1 - \sin\alpha - \cos\alpha $

Приведем подобные слагаемые:

$ \tg\alpha + (1 - 1) + (\cos\alpha - \cos\alpha) + (\sin\alpha - \sin\alpha) = \tg\alpha + 0 + 0 + 0 = \tg\alpha $

Левая часть тождества равна $ \tg\alpha $, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $ (\tg x + 2\ctg x)^2 - (\tg x - 2\ctg x)^2 = 8 $ преобразуем его левую часть.

Воспользуемся формулой разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, где $ a = \tg x + 2\ctg x $ и $ b = \tg x - 2\ctg x $.

Найдем $ a-b $:

$ (\tg x + 2\ctg x) - (\tg x - 2\ctg x) = \tg x + 2\ctg x - \tg x + 2\ctg x = 4\ctg x $

Найдем $ a+b $:

$ (\tg x + 2\ctg x) + (\tg x - 2\ctg x) = \tg x + 2\ctg x + \tg x - 2\ctg x = 2\tg x $

Перемножим полученные выражения:

$ (4\ctg x) \cdot (2\tg x) = 8 \cdot \ctg x \cdot \tg x $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \tg x \cdot \ctg x = 1 $.

$ 8 \cdot 1 = 8 $

Левая часть тождества равна 8, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.