Номер 12.20, страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*12.20. Найдите графическим способом число корней уравнения:

1) $2 - x^2 = \cos x$;

2) $2x^2 - 4x = 2\cos x$.

1) Для того чтобы найти число корней уравнения $2 - x^2 = \cos x$ графическим способом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 2 - x^2$ и $y = \cos x$. Число корней уравнения будет равно числу точек пересечения этих графиков.

Функция $y_1 = 2 - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0; 2)$.

Функция $y_2 = \cos x$ — это косинусоида, область значений которой — отрезок $[-1; 1]$.

Обе функции являются четными, следовательно, их графики симметричны относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также является корнем.

Рассмотрим поведение функций. Максимальное значение функции $y = 2 - x^2$ равно 2 (при $x=0$), а максимальное значение функции $y = \cos x$ равно 1. В точке $x=0$ значение параболы $y_1(0)=2$, а значение косинусоиды $y_2(0)=1$. Таким образом, в центре, вблизи оси OY, график параболы находится выше графика косинусоиды.

Поскольку область значений функции $y=\cos x$ есть $[-1; 1]$, точки пересечения могут существовать только при тех значениях $x$, для которых значение функции $y = 2 - x^2$ также находится в этом диапазоне, то есть $-1 \le 2 - x^2 \le 1$.

Решим это двойное неравенство:

1) $2 - x^2 \le 1 \implies 1 \le x^2 \implies x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

2) $2 - x^2 \ge -1 \implies x^2 \le 3 \implies x \in [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.

Пересечение этих множеств дает нам интервалы, где могут находиться корни: $x \in [-\sqrt{3}; -1] \cup [1; \sqrt{3}]$.

Сравним значения функций на границах одного из интервалов, например, $[1; \sqrt{3}] \approx [1; 1.732]$.

При $x=1$: $y_1 = 2 - 1^2 = 1$, а $y_2 = \cos(1)$. Так как $0 < 1 < \pi/2$, то $0 < \cos(1) < 1$. Следовательно, в точке $x=1$ парабола выше косинусоиды ($y_1 > y_2$).

При $x = \sqrt{3}$: $y_1 = 2 - (\sqrt{3})^2 = -1$. Значение косинуса $y_2 = \cos(\sqrt{3})$. Так как $\pi/2 \approx 1.57 < \sqrt{3} < \pi \approx 3.14$, то $\cos(\sqrt{3})$ находится в интервале $(-1; 0)$. Следовательно, в точке $x=\sqrt{3}$ парабола ниже косинусоиды ($y_1 < y_2$).

Так как на отрезке $[1; \sqrt{3}]$ обе функции непрерывны, и на одном конце отрезка парабола выше косинусоиды, а на другом — ниже, то на интервале $(1; \sqrt{3})$ существует как минимум одна точка пересечения.

В силу симметрии графиков относительно оси OY, такая же ситуация наблюдается на отрезке $[-\sqrt{3}; -1]$. Там также будет одна точка пересечения. За пределами этих отрезков $y_1=2-x^2 < -1$, в то время как $y_2=\cos x \ge -1$, поэтому других пересечений нет.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 корня.

2) Рассмотрим уравнение $2x^2 - 4x = 2\cos x$. Для упрощения разделим обе части на 2: $x^2 - 2x = \cos x$.

Чтобы найти число корней этого уравнения графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x^2 - 2x$ и $y_2 = \cos x$. Число корней будет равно числу точек пересечения их графиков.

Функция $y_1 = x^2 - 2x$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Для нахождения вершины выделим полный квадрат: $y_1 = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x-1)^2 - 1$. Вершина параболы находится в точке $(1; -1)$, и это ее минимальное значение.

Функция $y_2 = \cos x$ — косинусоида с областью значений $[-1; 1]$.

Точки пересечения могут существовать только там, где значения параболы находятся в области значений косинуса, то есть $-1 \le x^2 - 2x \le 1$.

1) $x^2 - 2x \ge -1 \implies (x-1)^2 \ge 0$, что верно для любого $x$.

2) $x^2 - 2x \le 1 \implies x^2 - 2x - 1 \le 0$. Корнями уравнения $x^2-2x-1=0$ являются $x=1 \pm \sqrt{2}$. Следовательно, пересечения могут быть только на отрезке $[1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}]$.

Сравним значения функций на концах этого отрезка и в точке минимума параболы ($x=1$):

- При $x = 1 - \sqrt{2} \approx -0.414$: $y_1 = (1-\sqrt{2}-1)^2 - 1 = (-\sqrt{2})^2 - 1 = 1$. $y_2 = \cos(1-\sqrt{2}) = \cos(\sqrt{2}-1)$. Так как $0 < \sqrt{2}-1 < 1$, то $y_2 = \cos(\sqrt{2}-1) < 1$. Следовательно, $y_1 > y_2$.

- При $x = 1$: $y_1 = (1-1)^2 - 1 = -1$. $y_2 = \cos(1) > 0$. Следовательно, $y_1 < y_2$.

- При $x = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414$: $y_1 = (1+\sqrt{2}-1)^2 - 1 = (\sqrt{2})^2 - 1 = 1$. $y_2 = \cos(1+\sqrt{2})$. Так как $\pi/2 \approx 1.57 < 1+\sqrt{2} < \pi \approx 3.14$, то $y_2 < 0$. Следовательно, $y_1 > y_2$.

На интервале $(1-\sqrt{2}; 1)$ разность $y_1-y_2$ меняет знак с плюса на минус, значит, там есть корень. На интервале $(1; 1+\sqrt{2})$ разность $y_1-y_2$ меняет знак с минуса на плюс, значит, там есть второй корень.

Поскольку за пределами отрезка $[1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}]$ значение параболы $y_1 > 1$, а значение косинуса $y_2 \le 1$, других пересечений быть не может.

Следовательно, графики функций пересекаются ровно в двух точках.

Ответ: 2 корня.