Номер 12.21, страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.21. Найдите период и постройте график функции:

1) $y = \{x\} - 2;$

2) $y = 2\{x\};$

3) $y = 2\{4x\};$

4) $y = \{\frac{x}{4}\} + 2$, где $\{x\}$ — дробная часть числа $x$.

1) y = {x} - 2;

Функция $y = \\{x\\}$ (дробная часть числа $x$) является периодической с основным периодом $T_0 = 1$.

Функция $y = \\{x\\} - 2$ получается из функции $g(x) = \\{x\\}$ сдвигом графика вдоль оси ординат на 2 единицы вниз. Такой сдвиг не изменяет период функции. Следовательно, период функции $y = \\{x\\} - 2$ также равен 1.

Для построения графика сначала рассмотрим базовый график функции $y = \\{x\\}$ на промежутке $[0, 1)$. На этом промежутке $\\{x\\} = x$, поэтому график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$, где точка $(1, 1)$ выколота.

График функции $y = \\{x\\} - 2$ получается сдвигом базового графика на 2 единицы вниз. Таким образом, на промежутке $[0, 1)$ график функции $y = \\{x\\} - 2$ совпадает с графиком функции $y = x - 2$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -2)$ и $(1, -1)$, где точка $(1, -1)$ выколота.

Так как функция периодическая с периодом $T=1$, мы можем скопировать этот отрезок на все промежутки вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число. График представляет собой бесконечную последовательность параллельных отрезков. Область значений функции: $[-2, -1)$.

Ответ: Период функции $T = 1$. График состоит из бесконечной последовательности отрезков. Для каждого целого числа $n$ на промежутке $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(n, -2)$ (включительно) с точкой $(n+1, -1)$ (выколота).

2) y = 2{x};

Период функции $y = \\{x\\}$ равен $T_0 = 1$.

Функция $y = 2\\{x\\}$ получается из функции $g(x) = \\{x\\}$ растяжением графика вдоль оси ординат в 2 раза. Такое преобразование не изменяет период функции. Следовательно, период функции $y = 2\\{x\\}$ также равен 1.

Для построения графика рассмотрим промежуток $[0, 1)$. На этом промежутке $\\{x\\} = x$, поэтому $y = 2x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$, где точка $(1, 2)$ выколота.

Используя периодичность с $T=1$, повторяем этот отрезок на каждом промежутке вида $[n, n+1)$ для целых $n$. График представляет собой "пилу" с высотой зубцов, равной 2. Область значений функции: $[0, 2)$.

Ответ: Период функции $T = 1$. График состоит из бесконечной последовательности отрезков. Для каждого целого числа $n$ на промежутке $[n, n+1)$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(n, 0)$ (включительно) с точкой $(n+1, 2)$ (выколота).

3) y = 2{4x};

Сначала найдем период функции. Период функции $g(x) = \\{x\\}$ равен $T_0 = 1$. Для функции вида $h(x) = f(kx)$, её период $T$ связан с периодом $T_0$ функции $f(x)$ соотношением $T = T_0 / |k|$.

В нашем случае $f(x) = \\{x\\}$, а аргумент имеет вид $kx$ с $k=4$. Таким образом, период функции $h(x) = \\{4x\\}$ равен $T_h = T_0 / 4 = 1/4$.

Умножение на 2, то есть $y = 2 \cdot h(x) = 2\\{4x\\}$, является растяжением вдоль оси ординат и не влияет на период. Значит, искомый период $T = 1/4$.

Для построения графика рассмотрим один период, например, промежуток $[0, 1/4)$. Если $0 \le x < 1/4$, то $0 \le 4x < 1$. В этом случае $\\{4x\\} = 4x$. Тогда на промежутке $[0, 1/4)$ функция принимает вид $y = 2(4x) = 8x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(1/4, 2)$, где правая точка выколота.

Так как функция периодическая с периодом $T=1/4$, этот отрезок повторяется на всех промежутках вида $[n/4, (n+1)/4)$ для целых $n$. Область значений функции: $[0, 2)$.

Ответ: Период функции $T = 1/4$. График состоит из бесконечной последовательности отрезков. Для каждого целого числа $n$ на промежутке $[n/4, (n+1)/4)$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(n/4, 0)$ (включительно) с точкой $((n+1)/4, 2)$ (выколота).

4) y = {x/4} + 2, где {x} — дробная часть числа x.

Найдем период функции. Период функции $g(x) = \\{x\\}$ равен $T_0 = 1$. Для функции вида $h(x) = f(kx)$, её период $T$ равен $T_0 / |k|$.

В нашем случае аргумент имеет вид $kx$ с $k=1/4$. Следовательно, период функции $h(x) = \\{\frac{x}{4}\\}$ равен $T_h = T_0 / (1/4) = 4$.

Прибавление константы 2, то есть $y = h(x) + 2 = \\{\frac{x}{4}\\} + 2$, является сдвигом вдоль оси ординат и не влияет на период. Значит, искомый период $T = 4$.

Для построения графика рассмотрим один период, например, промежуток $[0, 4)$. Если $0 \le x < 4$, то $0 \le x/4 < 1$. В этом случае $\\{\frac{x}{4}\\} = \frac{x}{4}$. Тогда на промежутке $[0, 4)$ функция принимает вид $y = \frac{x}{4} + 2$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 2)$ и $(4, 3)$, где правая точка выколота.

Так как функция периодическая с периодом $T=4$, этот отрезок повторяется на всех промежутках вида $[4n, 4(n+1))$ для целых $n$. Область значений функции: $[2, 3)$.

Ответ: Период функции $T = 4$. График состоит из бесконечной последовательности отрезков. Для каждого целого числа $n$ на промежутке $[4n, 4(n+1))$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точку $(4n, 2)$ (включительно) с точкой $(4(n+1), 3)$ (выколота).