Номер 12.15, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.15. Постройте согласно алгоритму график функции:

1) $y = 2\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

2) $y = 2 + \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$

3) $y = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$

1) $y=2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$

Для построения графика данной функции, мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y=\cos(x)$. Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Начинаем с графика функции $y=\cos(x)$. Это стандартная косинусоида с периодом $T=2\pi$, амплитудой $A=1$ и областью значений $E(y) = [-1, 1]$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Преобразуем график $y=\cos(x)$ в график $y=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$. Это преобразование является сдвигом (параллельным переносом) по оси абсцисс (Ox). Так как из аргумента вычитается положительное число $\frac{\pi}{4}$, график сдвигается вправо на $\frac{\pi}{4}$. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y=\cos(x)$ переходит в точку $(x+\frac{\pi}{4}, y)$. Ключевые точки смещаются: $(\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\frac{5\pi}{4}, -1)$, $(\frac{7\pi}{4}, 0)$, $(\frac{9\pi}{4}, 1)$.

3. Преобразуем график $y=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ в искомый график $y=2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$. Это преобразование является растяжением вдоль оси ординат (Oy) от оси Ox с коэффициентом 2. Амплитуда функции увеличивается в 2 раза. Каждая точка $(x, y)$ на предыдущем графике переходит в точку $(x, 2y)$. Ключевые точки теперь: $(\frac{\pi}{4}, 2)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\frac{5\pi}{4}, -2)$, $(\frac{7\pi}{4}, 0)$, $(\frac{9\pi}{4}, 2)$. Период и фазовый сдвиг при этом не меняются.

Итоговые свойства функции $y=2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$:

• Период: $T=2\pi$

• Амплитуда: $A=2$

• Область значений: $E(y)=[-2, 2]$

• Сдвиг фазы: на $\frac{\pi}{4}$ вправо

Ответ: График функции $y=2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ получается из графика $y=\cos(x)$ путем сдвига вправо на $\frac{\pi}{4}$ и последующего растяжения вдоль оси Oy в 2 раза.

2) $y=2+\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$

Построение этого графика также основано на преобразованиях графика функции $y=\cos(x)$. Функцию можно записать в виде $y=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2$.

1. Начинаем с графика базовой функции $y=\cos(x)$ с периодом $T=2\pi$ и амплитудой $A=1$.

2. Преобразуем график $y=\cos(x)$ в график $y=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$. Это сдвиг по оси Ox. Так как к аргументу прибавляется положительное число $\frac{\pi}{4}$ (что эквивалентно $x-(-\frac{\pi}{4})$), график сдвигается влево на $\frac{\pi}{4}$. Каждая точка $(x, y)$ переходит в точку $(x-\frac{\pi}{4}, y)$. Ключевые точки смещаются: $(-\frac{\pi}{4}, 1)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{3\pi}{4}, -1)$, $(\frac{5\pi}{4}, 0)$, $(\frac{7\pi}{4}, 1)$.

3. Преобразуем график $y=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ в искомый график $y=\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2$. Это преобразование является сдвигом (параллельным переносом) вдоль оси ординат (Oy) вверх на 2 единицы. Каждая точка $(x, y)$ на предыдущем графике переходит в точку $(x, y+2)$. Ключевые точки теперь: $(-\frac{\pi}{4}, 3)$, $(\frac{\pi}{4}, 2)$, $(\frac{3\pi}{4}, 1)$, $(\frac{5\pi}{4}, 2)$, $(\frac{7\pi}{4}, 3)$.

Итоговые свойства функции $y=2+\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$:

• Период: $T=2\pi$

• Амплитуда: $A=1$

• Область значений: $E(y)=[-1+2, 1+2]=[1, 3]$

• Сдвиг фазы: на $\frac{\pi}{4}$ влево

• Вертикальный сдвиг: на 2 вверх

Ответ: График функции $y=2+\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ получается из графика $y=\cos(x)$ путем сдвига влево на $\frac{\pi}{4}$ и последующего сдвига вверх на 2 единицы.

3) $y=\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$

Для корректного определения сдвига, преобразуем выражение в скобках, вынеся коэффициент 2: $y=\cos\left(2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)$. Построение основано на преобразованиях графика $y=\cos(x)$.

1. Начинаем с графика базовой функции $y=\cos(x)$.

2. Преобразуем график $y=\cos(x)$ в график $y=\cos(2x)$. Это преобразование является сжатием графика к оси Oy в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза: $T=\frac{2\pi}{2}=\pi$. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y=\cos(x)$ переходит в точку $(\frac{x}{2}, y)$. Ключевые точки одного периода: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, -1)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\pi, 1)$.

3. Преобразуем график $y=\cos(2x)$ в искомый график $y=\cos\left(2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)$. Это сдвиг по оси Ox. График функции $y=\cos(2x)$ сдвигается вправо на $\frac{\pi}{6}$. Каждая точка $(x, y)$ на предыдущем графике переходит в точку $(x+\frac{\pi}{6}, y)$. Ключевые точки смещаются: $(\frac{\pi}{6}, 1)$, $(\frac{5\pi}{12}, 0)$, $(\frac{2\pi}{3}, -1)$, $(\frac{11\pi}{12}, 0)$, $(\frac{7\pi}{6}, 1)$.

Итоговые свойства функции $y=\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$:

• Период: $T=\pi$

• Амплитуда: $A=1$

• Область значений: $E(y)=[-1, 1]$

• Сдвиг фазы: на $\frac{\pi}{6}$ вправо

Ответ: График функции $y=\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y=\cos(x)$ путем сжатия по оси Ox в 2 раза (что уменьшает период до $\pi$) и последующего сдвига вправо на $\frac{\pi}{6}$.